Question

點(diǎn)P（x，y）是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，且∠F₁PF₂≤90°，則該橢圓的離心率的取值范圍是（　　）

• A、0＜e≤

  2

  2

• B、

  2

  2

  ≤e＜1
• C、0＜e＜1
• D、e=

  2

  2

Answer 1

分析：由題設(shè)條件可知，當(dāng)點(diǎn)P位于（0，b）或（0，-b）處時(shí)，∠F₁PF₂最大，此時(shí) cos＜F1PF2=

a2+a2-4c2

2a2

=

a2-2c2

a2

≥0，∴a≥

2

c，由此能夠推導(dǎo)出該橢圓的離心率的取值范圍．

解答：解：由題意可知，當(dāng)點(diǎn)P位于（0，b）或（0，-b）處時(shí)，∠F₁PF₂最大，
此時(shí) cos＜F1PF2=

a2+a2-4c2

2a2

=

a2-2c2

a2

≥0，∴a≥

2

c，
∴e=

c

a

≤

2

2

，又∵0＜e＜1，∴0＜e≤

2

2

．
答案：(0，

2

2

]．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的性質(zhì)及其應(yīng)用，難度不大，正確解題的關(guān)鍵是知道當(dāng)點(diǎn)P位于（0，b）或（0，-b）處時(shí)，∠F₁PF₂最大．同時(shí)要注意橢圓離心率的取值范圍是（0，1）．