Question

已知函數(shù)f（x）=x⁴-4x³+ax²+1．
（1）當(dāng)a=4時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）若對任意x∈R，f（x）≥2ax-f'（x）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）正確求解該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是解決本題的關(guān)鍵，通過求解函數(shù)的臨界點，確定出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的分段點，通過導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定出函數(shù)的增減區(qū)間進(jìn)而確定出函數(shù)的極值；
（2）將恒成立問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化與化歸是解決本題的關(guān)鍵．通過整體思想轉(zhuǎn)化為二次問題是解決本題的關(guān)鍵．注意分類討論思想的運用，列出關(guān)于字母a的不等式達(dá)到求解本題的目的．

解答：解：（1）當(dāng)a=4時，令f′（x）=4x³-12x²+8x=0，得x=0或x=1或x=2，
∴由f′（x）＞0得出f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1），（2，+∞）；由f′（x）＜0得出f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，0），（1，2）．
因此f（x）_極大=f（1）=2，f（x）_極小=f（0）=1，f（x）_極小=f（2）=1．
（2）由f（x）≥2ax-f'（x）恒成立，得x⁴-4x³+ax²+1≥2ax-（4x³-12x²+2ax），
即x⁴+（a-12）x²+1≥0恒成立，∴

12-a 2 ≤0 04+(a-12)•02+1≥0

或

12-a 2 ＞0 △=(a-12)2-4≤0

，
解得a≥10．故a的取值范圍為[10，+∞）．

點評：本題考查多項式函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求解，考查導(dǎo)數(shù)作為工具求解函數(shù)的極值和最值問題，考查學(xué)生的運算能力、轉(zhuǎn)化與化歸的思想和方法，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力和意識．