【題目】已知橢圓的左右焦點為,過(M不過橢圓的頂點和中心)且斜率為k直線l交橢圓于兩點,與y軸交于點N,且.
(1)若直線l過點,求的周長;
(2)若直線l過點,求線段的中點R的軌跡方程;
(3)求證:為定值,并求出此定值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
(1)根據(jù)橢圓的定義,即可求解;
(2)設(shè)直線l方程,與橢圓方程聯(lián)立,結(jié)合韋達定理,求出相交弦中點的參數(shù)方程,消去參數(shù),即可求出結(jié)論;
(3)表示成坐標關(guān)系,將用坐標表示,直線l方程與橢圓方程聯(lián)立,消元整理為一元二次方程結(jié)合韋達定理,即可證明為定值.
(1)解:由題意橢圓的長軸長.
的周長為.
(2)由題意直線.
由得,
由題意恒成立.設(shè),
則,
.
即(k為參數(shù)).
消去k得點R的軌跡方程為.
(3)由得,
所以,同理,
由題意直線l的方程為,代入得
,由題意.
由韋達定理得
.
綜上可知λ為定值.
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【題目】如圖,已知橢圓 的長軸,長為4,過橢圓的右焦點作斜率為()的直線交橢圓于、兩點,直線,的斜率之積為.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知直線,直線,分別與相交于、兩點,設(shè)為線段的中點,求證:.
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【題目】如圖,幾何體是圓柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其內(nèi)部)以AB邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)120°得到的,G是的中點.
(1)設(shè)P是上的一點,且AP⊥BE,求∠CBP的大小;
(2)當AB=3,AD=2時,求二面角E-AG-C的大小.
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【題目】已知某款冰淇淋的包裝盒為圓臺,盒蓋為直徑為的圓形紙片,每盒冰淇淋中包含有香草口味、巧克力口味和草莓口味冰淇淋球各一個,假定每個冰淇淋球都是半徑為的球體,三個冰淇淋球兩兩相切,且都與冰淇淋盒蓋、盒底和盒子側(cè)面的曲面相切,則冰淇淋盒的體積為______.
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【題目】如圖,在底面邊長為,側(cè)棱長為的正四棱柱中,是側(cè)棱上的一點,.
(1)若,求異面直線與所成角的余弦;
(2)是否存在實數(shù),使直線與平面所成角的正弦值是?若存在,請求出的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】某市《城市總體規(guī)劃(年)》提出到年實現(xiàn)“分鐘社區(qū)生活圈”全覆蓋的目標,從教育與文化、醫(yī)療與養(yǎng)老、交通與購物、休閑與健身個方面構(gòu)建“分鐘社區(qū)生活圈”指標體系,并依據(jù)“分鐘社區(qū)生活圈”指數(shù)高低將小區(qū)劃分為:優(yōu)質(zhì)小區(qū)(指數(shù)為)、良好小區(qū)(指數(shù)為)、中等小區(qū)(指數(shù)為)以及待改進小區(qū)(指數(shù)為)個等級.下面是三個小區(qū)個方面指標的調(diào)查數(shù)據(jù):
注:每個小區(qū)“分鐘社區(qū)生活圈”指數(shù),其中、、、為該小區(qū)四個方面的權(quán)重,、、、為該小區(qū)四個方面的指標值(小區(qū)每一個方面的指標值為之間的一個數(shù)值).
現(xiàn)有個小區(qū)的“分鐘社區(qū)生活圈”指數(shù)數(shù)據(jù),整理得到如下頻數(shù)分布表:
分組 | |||||
頻數(shù) |
(Ⅰ)分別判斷、、三個小區(qū)是否是優(yōu)質(zhì)小區(qū),并說明理由;
(Ⅱ)對這個小區(qū)按照優(yōu)質(zhì)小區(qū)、良好小區(qū)、中等小區(qū)和待改進小區(qū)進行分層抽樣,抽取個小區(qū)進行調(diào)查,若在抽取的個小區(qū)中再隨機地選取個小區(qū)做深入調(diào)查,記這個小區(qū)中為優(yōu)質(zhì)小區(qū)的個數(shù),求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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【題目】已知函數(shù).
(1)求的單調(diào)區(qū)間與極值;
(2)當函數(shù)有兩個極值點時,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】在平面直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(1)若,直線與曲線相交于兩點,求;
(2)若,求曲線上的點到直線的距離的最小值.
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