Question

已知數(shù)列{a_n}滿足an+1=

an

3-2an

，a1=

1

4

．
（1）令bn=

1

an

-1(n∈N+)  求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求滿足am+am+1+…+a2m-1＜

1

150

的最小正整數(shù)m的值．

Answer 1

分析：（1）對(duì)an+1=

an

3-2an

，兩邊取倒數(shù)即可轉(zhuǎn)化為一個(gè)等比數(shù)列，進(jìn)而得到答案；
（2）利用（1）的結(jié)論，再進(jìn)行適當(dāng)放縮后利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的計(jì)算公式即可得出．

解答：解：（1）由an+1=

an

3-2an

，兩邊取倒數(shù)得

1

an+1

=

3

an

-2，
∴

1

an+1

-1=3(

1

an

-1)，
∵

1

a1

-1=

1

1 4

-1=3≠0，
∴數(shù)列{

1

an

-1}是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，
∴

1

an

-1=3×3n-1=3n，
bn=3n(n∈N*)．
（20由（1）可知：an=

1

3n+1

(n∈N*)．
∴a_m+a_m+1+…+a_2m-1=

1

3m+1

+

1

3m+1+1

+…+

1

32m-1+1

＜

1

3m

+

1

3m+1

+…+

1

32m-1

=

1

3m

×

1- 1 3m

1- 1 3

=

1

2×3m-1

(1-

1

3m

)
＜

1

2×3m-1

，
令

1

2×3m-1

≤

1

150

，解得m≥5．
故所求m的最小值為5．

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于形如an+1=

an

3-2an

，兩邊“取倒數(shù)”即可轉(zhuǎn)化為一個(gè)等比數(shù)列求通項(xiàng)問題、“適當(dāng)放縮”利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．