已知橢圓C的中心在坐標原點,短軸長為4,且有一個焦點與拋物線y2=4
5
x
的焦點重合.
(1)求橢圓C的方程.
(2)已知經(jīng)過定點M(2,0)且斜率不為0的直線l交橢圓C于A、B兩點,試問在x軸上是否另存在一個定點P使得PM始終平分∠APB?若存在求出P點坐標,若不存在請說明理由.
分析:(1)設(shè)橢圓的標準方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),焦距為2c.由拋物線y2=4
5
x
方程得焦點(
5
,0)
,可得c.又短軸長為4,可得2b=4,解得b.再利用a2=b2+c2即可得到a.
(2)假設(shè)在x軸上存在一個定點P(t,0)(t≠2)使得PM始終平分∠APB.設(shè)直線l的方程為my=x-2,A(x1,y1),B(x2,y2).與橢圓的方程聯(lián)立化為(9+5m2)y2+20my-25=0,得到根與系數(shù)的關(guān)系,由于PM平分∠APB,利用角平分線的性質(zhì)可得
|PA|
|PB|
=
|AM|
|BM|
,經(jīng)過化簡求出t的值即可.
解答:解:(1)設(shè)橢圓的標準方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),焦距為2c.
由拋物線y2=4
5
x
方程得焦點(
5
,0)
,∴c=
5

又短軸長為4,∴2b=4,解得b=2.
∴a2=b2+c2=9.
∴橢圓C的方程為
x2
9
+
y2
5
=1

(2)假設(shè)在x軸上存在一個定點P(t,0)(t≠2)使得PM始終平分∠APB.
設(shè)直線l的方程為my=x-2,A(x1,y1),B(x2,y2).
聯(lián)立
my=x-2
x2
9
+
y2
5
=1
,化為(9+5m2)y2+20my-25=0,
y1+y2=
-20m
9+5m2
,y1y2=
-25
9+5m2
.(*)
∵PM平分∠APB,∴
|PA|
|PB|
=
|AM|
|BM|
,
(x1-t)2+
y
2
1
(x2-t)2+
y
2
2
=
|y1|
|y2|
,化為
(x1-t)2
(x2-t)2
=
y
2
1
y
2
2
,
把x1=my1+2,x2=my2+2代入上式得(2-t)(y1-y2)[2my1y2+(2-t)(y1+y2)]=0,
∵2-t≠0,y1-y2≠0,∴2my1y2+(2-t)(y1+y2)=0.
把(*)代入上式得
-50m
9+5m2
+
(2-t)(-20m)
9+5m2
=0
,
化為m(9-2t)=0,
由于對于任意實數(shù)上式都成立,∴t=
9
2

因此存在點P(
9
2
,0)
滿足PM始終平分∠APB.
點評:本題考查了橢圓與拋物線的標準方程及其性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、兩點間的距離公式、恒成立問題等基礎(chǔ)知識與基本技能方法,屬于難題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C的中心在坐標原點,橢圓C任意一點P到兩個焦點F1(-
3
,0)
F2(
3
,0)
的距離之和為4.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)過(0,-2)的直線l與橢圓C交于A、B兩點,且
OA
OB
=0
(O為坐標原點),求直線l的方程.

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已知橢圓C的中心在坐標原點,焦點在x軸上,左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,且|F1F2|=2,點P(1,
32
)在橢圓C上.
(I)求橢圓C的方程;
(II)如圖,動直線l:y=kx+m與橢圓C有且僅有一個公共點,點M,N是直線l上的兩點,且F1M⊥l,F(xiàn)2M⊥l,求四邊形F1MNF2面積S的最大值.

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已知橢圓C的中心在坐標原點,焦點在x軸上且過點P(
3
,
1
2
)
,離心率是
3
2

(1)求橢圓C的標準方程;
(2)直線l過點E(-1,0)且與橢圓C交于A,B兩點,若|EA|=2|EB|,求直線l的方程.

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(2013•和平區(qū)一模)已知橢圓C的中心在坐標原點,焦點在x軸上,離心率為
1
2
,它的一個頂點恰好是拋物線y=
3
12
x2的焦點.
(I)求橢圓C的標準方程;
(II)若A、B是橢圓C上關(guān)x軸對稱的任意兩點,設(shè)P(-4,0),連接PA交橢圓C于另一點E,求證:直線BE與x軸相交于定點M;
(III)設(shè)O為坐標原點,在(II)的條件下,過點M的直線交橢圓C于S、T兩點,求
OS
OT
的取值范圍.

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已知橢圓C的中心在坐標原點,它的一條準線為x=-
5
2
,離心率為
2
5
5

(1)求橢圓C的方程;
(2)過橢圓C的右焦點F作直線l交橢圓于A、B兩點,交y軸于M點,若
MA
=λ1
AF
, 
MB
=λ2
BF
,求λ12的值.

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