Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n+1（n∈N^*），等差數(shù)列{b_n}中，b_n＞0（n∈N^*）且b₁+b₂+b₃=15，又a₁+b₁、a₂+b₂、a₃+b₃成等比數(shù)列．求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

【答案】分析：（1）要利用恒等式a_n+1=2S_n+1構(gòu)造出a_n=2S_n-1+1兩者作差得出a_n+1=3a_n，求出數(shù)列{a_n}；
（2）有等差數(shù)列的性質(zhì)求出b₂=5，進(jìn)而求出公差和首項(xiàng)，即可求出通項(xiàng)公式．
解答：解：（1）當(dāng)n≥2時(shí)，由a_n+1=2S_n+1得a_n=2S_n-1+1，兩式相減得
a_n+1-a_n=2S_n-2S_n-1=2a_n，整理得=3，
a₂=2S₁+1=3，∴=3滿足上式．                   
∴{a_n}是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列．
∴a_n=3^n-1                   
（2）由條件知：b₂=5，故（1+b₁）（9+b₃）=64               
即（6-d）（14+d）=64，解得d=2或d=-10（舍），故b₁=3     
∴b_n=b₁+（n-1）d=2n+1
點(diǎn)評(píng)：本題技巧性較強(qiáng)，是數(shù)列中的一道難度較高的題，對(duì)答題者基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能要求較高，是用來提高學(xué)生數(shù)列素養(yǎng)的一道好題．