Question

已知數(shù)列{a_n}和{b_n}，對一切正整數(shù)n都有：a₁b_n+a₂b_n-1+a₃b_n-2+…+a_nb₁=3ⁿ⁺¹-2n-3成立．
（Ⅰ）如果數(shù)列{b_n}為常數(shù)列，b_n=1，求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）如果數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=n，求證數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列．
（Ⅲ）如果數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，數(shù)列{a_n}是否是等差數(shù)列？如果是，求出這個數(shù)列的通項公式；如果不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）若b_n=1，根據(jù)題中等式并將n用n-1迭代，作差可得a_n=2•3ⁿ-2，當(dāng)n=1時也適合．因此可得{a_n}的通項公式為a_n=2•3ⁿ-2．   
（II）若a_n=n，根據(jù)題中等式可得b_n+2b_n-1+3b_n-2+…+nb₁=3ⁿ⁺¹-2n-3，用n-1替代n，再作差得到b_n+b_n-1+b_n-2+…+b₁=2•3ⁿ-2．再將此式作一次用n-1替代n的代換，作差可得b_n=4•3^n-1，而n=1時也適合．由此即可得到數(shù)列{b_n}的通項公式，從而得到數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列．
（II）設(shè)數(shù)列{b_n}的首項為b₁，公比為q，由已知得：a₁b_n-1q+a₂b_n-2q+a₃b_n-3q+…+a_nb₁=3ⁿ⁺¹-2n-3，將左邊化簡整理，并利用整體代換算出q[3ⁿ-2（n-1）-3]+a_nb₁=3ⁿ⁺¹-2n-3，從而得到a_n關(guān)于b₁與q的分式表達(dá)式，再分q=3與q≠3兩種情況加以討論，即可得到數(shù)列{a_n}是否是等差數(shù)列的正確結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）若b_n=1，結(jié)合已知條件得：a₁+a₂+a₃+…+a_n=3ⁿ⁺¹-2n-3，
將n用n-1迭代，可得：a₁+a₂+a₃+…+a_n-1=3ⁿ-2（n-1）-3．（n≥2）
兩式相減得：a_n=2•3ⁿ-2，當(dāng)n=1時也適合．
∴數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=2•3ⁿ-2．       …（4分）
（Ⅱ）若a_n=n，由已知得：b_n+2b_n-1+3b_n-2+…+nb₁=3ⁿ⁺¹-2n-3，
將n用n-1迭代，可得：b_n-1+2b_n-2+3b_n-3+…+（n-1）b₁=3ⁿ-2（n-1）-3，（n≥2）．
兩式相減得：b_n+b_n-1+b_n-2+…+b₁=2•3ⁿ-2，…（7分）
再將n用n-1迭代，得：b_n-1+b_n-2+b_n-3+…+b₁=2•3^n-1-2．
兩式相減得：b_n=4•3^n-1，經(jīng)檢驗n=1時也適合．
∴數(shù)列{b_n}的通項公式為b_n=4•3^n-1，
可得數(shù)列{b_n}是4為首項，公比為3的等比數(shù)列．    …（10分）
（Ⅲ）設(shè)數(shù)列{b_n}的首項為b₁，公比為q，由已知得：
a₁b_n-1q+a₂b_n-2q+a₃b_n-3q+…+a_nb₁=3ⁿ⁺¹-2n-3
即：q（a₁b_n-1+a₂b_n-2+a₃b_n-3+…+a_n-1b₁）+a_nb₁=3ⁿ⁺¹-2n-3
可得q[3ⁿ-2（n-1）-3]+a_nb₁=3ⁿ⁺¹-2n-3
∴a_n=

(3-q)•3n-2n(1-q)-(3-q)

b1

   …（13分）
若q=3時，a_n=

4n

b1

，數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列．
若q≠3時，因為a₂-a₁≠a₃-a₂，
∴a_n=

(3-q)•3n-2n(1-q)-(3-q)

b1

不是等差數(shù)列．
因此，當(dāng)q=3時，數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列；而當(dāng)q≠3時，數(shù)列{a_n}不為等差數(shù)列…（16分）

點評：本題給出數(shù)列{a_n}、{b_n}滿足的等式，求它們的通項公式并討論能否成等差數(shù)列的問題．著重考查了數(shù)列的通項與求和、等差等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式等知識，考查了計算能力與邏輯推理能力，屬于難題．