Question

在三角形ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知a=bcosC+csinB
（1）求B角大��；
（2）若b=2，求三角形ABC面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理將已知等式化簡(jiǎn)，再根據(jù)兩角和的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式變形，求出tanB的值，結(jié)合B為三角形的內(nèi)角即可算出角B的大��；
（2）利用余弦定理b²=a²+c²-2accosB的式子，結(jié)合基本不等式加以計(jì)算可得ac≤4+2

2

，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)等號(hào)成立．再由三角形的面積公式得到S_△ABC=

1

2

acsinB=

2

4

ac，代入ac的最大值即可得到三角形面積的最大值．

解答：解：（1）∵a=bcosC+csinB，
∴根據(jù)正弦定理，得sinA=sinBcosC+sinBsinC…①，
又∵sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC…②，
∴比較①②，可得sinB=cosB，即tanB=1，
結(jié)合B為三角形的內(nèi)角，可得B=45°；
（2）∵△ABC中，b=2，B=45°，
∴根據(jù)余弦定理b²=a²+c²-2accosB，可得a²+c²-2accos45°=4，
化簡(jiǎn)可得a²+c²-

2

ac=4，
∵a²+c²≥2ac，∴4=a²+c²-

2

ac≥（2-

2

）ac．
由此可得ac≤

4

2- 2

=4+2

2

，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)等號(hào)成立．
∴△ABC面積S=

1

2

acsinB=

2

4

ac≤

2

4

（4+2

2

）=

2

+1．
綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)，△ABC面積S的最大值為

2

+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正余弦定理、三角形的面積公式、兩角和與差的三角函數(shù)公式與基本不等式的運(yùn)用等知識(shí)，屬于中檔題．熟練掌握有關(guān)定理及公式是解決本題的關(guān)鍵．