Question

9．德國數(shù)學家科拉茨1937年提出一個著名的猜想：任給一個正整數(shù)n，如果n是偶數(shù)，就將它減半（即$\frac{n}{2}$）；如果n是奇數(shù)，則將它乘3加1（即3n+1），不斷重復這樣的運算，經(jīng)過有限步后，一定可以得到1．對于科拉茨猜想，目前誰也不能證明，也不能否定，現(xiàn)在請你研究：如果對正整數(shù)n（首項）按照上述規(guī)則旅行變換后的第9項為1（注：1可以多次出現(xiàn)），則n的所有不同值的個數(shù)為7．

Answer 1

分析 利用第9項為1出發(fā)，按照規(guī)則，逆向逐項即可求出n的所有可能的取值．

解答 解：如果正整數(shù)n按照上述規(guī)則施行變換后的第9項為1，
則變換中的第8項一定是2，
則變換中的第7項一定是4，
變換中的第6項可能是1，也可能是8；
變換中的第5項可能是2，也可是16，
變換中的第5項是2時，變換中的第4項是4，變換中的第3項是1或8，變換中的第2項是2或16，
變換中的第5項是16時，變換中的第4項是32或5，變換中的第3項是64或10，變換中的第2項是20或3，
變換中第2項為2時，第1項為4，變換中第2項為16時，第1項為32或5，變換中第2項為3時，第1項為6，變換中第2項為20時，第1項為40，變換中第2項為21時，第1項為42，變換中第2項為128時，第1項為256，
則n的所有可能的取值為4，5，6，32，40，42，256，共7個，
$1→2→4→\left\{\begin{array}{l}{8→16→\left\{\begin{array}{l}{32→64→\left\{\begin{array}{l}{128→256}\\{21→42}\end{array}\right.}\\{5→10→\left\{\begin{array}{l}{20→40}\\{3→6}\end{array}\right.}\end{array}\right.}\\{1→2→4→\left\{\begin{array}{l}{8→16→\left\{\begin{array}{l}{32}\\{5}\end{array}\right.}\\{1→2→4}\end{array}\right.}\end{array}\right.$
故答案為：7．

點評 本題主要考查歸納推理的應用，利用變換規(guī)則，進行逆向驗證是解決本題的關鍵，考查學生的推理能力，屬于中檔題．