Question

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，橢圓E：（a＞0，b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（，），且點(diǎn)F（0，-1）為其一個(gè)焦點(diǎn)．   
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓E與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A₁，A₂，不在y軸上的動(dòng)點(diǎn)P在直線y=b²上運(yùn)動(dòng)，直線PA₁，PA₂分別與橢圓E交于點(diǎn)M，N，證明：直線MN通過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，且△FMN的周長(zhǎng)為定值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)題意可得解出即可；
（Ⅱ）不妨設(shè)A₁（0，2），A₂（0，-2）
P（x，4）為直線y=4上一點(diǎn)（x≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
直線PA₁方程為，直線PA₂方程為，分別與橢圓聯(lián)立即可得到點(diǎn)M，N的坐標(biāo)．
由于橢圓關(guān)于y軸對(duì)稱，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在直線y=4上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線MN通過(guò)的定點(diǎn)必在y軸上，
當(dāng)x=1時(shí)，直線MN的方程為，令x=0，得y=1可猜測(cè)定點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1），并記這個(gè)定點(diǎn)為B
再證明k_BM=k_BN，即M，B，N三點(diǎn)共線即可．
又F（0，-1），B（0，1）是橢圓E的焦點(diǎn)，利用橢圓的定義即可得出△FMN的周長(zhǎng)．
解答：解：（Ⅰ）根據(jù)題意可得
可解得
∴橢圓E的方程為…（4分）
（Ⅱ）不妨設(shè)A₁（0，2），A₂（0，-2）
P（x，4）為直線y=4上一點(diǎn)（x≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
直線PA₁方程為，直線PA₂方程為
點(diǎn)M（x₁，y₁），A₁（0，2）的坐標(biāo)滿足方程組可得
點(diǎn)N（x₂，y₂），A₂（0，-2）的坐標(biāo)滿足方程組    可得
由于橢圓關(guān)于y軸對(duì)稱，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在直線y=4上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線MN通過(guò)的定點(diǎn)必在y軸上，
當(dāng)x=1時(shí)，直線MN的方程為，令x=0，得y=1可猜測(cè)定點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1），并記這個(gè)定點(diǎn)為B
則直線BM的斜率k_BM===
直線BN的斜率k_BN===
∴k_BM=k_BN，即M，B，N三點(diǎn)共線，故直線MN通過(guò)一個(gè)定點(diǎn)B（0，1），
又∵F（0，-1），B（0，1）是橢圓E的焦點(diǎn)，
∴△FMN周長(zhǎng)=|FM|+|MB|+|BN|+|NF|=4b=8．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到方程組、三點(diǎn)共線與斜率的關(guān)系等是解題的關(guān)鍵．