Question

已知函數(shù)f（x）=（x²-3x+3）•e^x．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)t＞-2時(shí)，判斷f（-2）和f（t）的大小，并說(shuō)明理由；
（3）求證：當(dāng)1＜t＜4時(shí)，關(guān)于x的方程：

f′(x)

ex

=

2

3

（t-1）²在區(qū)間[-2，t]上總有兩個(gè)不同的解．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可確定函數(shù)的單調(diào)性；
（2）根據(jù)t的取值進(jìn)行分類討論，結(jié)合（1）的結(jié)論，得f（x）在x=1處取得極小值f（1）=e，根據(jù)f（-2）=13e^-2＜e，從而當(dāng)t＞-2時(shí)，f（-2）＜f（t），即可判斷f（-2）和f（t）的大小；
（3）將方程

f′(x)

ex

=

2

3

（t-1）²等價(jià)轉(zhuǎn)化為g（x）=x²-x-

2

3

(t-1)2=0在區(qū)間[-2，t]上有兩個(gè)不同的解，根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性，即可證得結(jié)論．

解答：解：（1）∵f（x）=（x²-3x+3）•e^x，
∴f′（x）=（2x-3）e^x+（x²-3x+3）e^x=（x²-x）e^x，
令f′（x）＞0，即（x²-x）e^x＞0，解得x＜0或x＞1，
令f′（x）＜0，即（x²-x）e^x＜0，解得0＜x＜1，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，0），（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1）；
（2）∵t＞-2，
①當(dāng)t∈（-2，0]時(shí)，
∵f（x）在（-∞，0]單調(diào)遞增，∴f（t）＞f（-2），
②當(dāng)t∈（0，+∞）時(shí)，∵f（x）在[0，1]單調(diào)遞減，在[1，+∞）單調(diào)遞增，
∴f（t）所能取得的最小值為f（1）與f（-2）的最小值，
∵f（1）=e，f（-2）=13e^-2，f（1）＞f（-2），
∴當(dāng)t∈（0，+∞）時(shí)，f（t）＞f（-2）
綜上可知：當(dāng)t＞-2時(shí)，f（t）＞f（-2）；
（3）

f′(x)

ex

=

2

3

（t-1）²即x²-x=

2

3

（t-1）²，
考慮函數(shù)g（x）=x²-x-

2

3

(t-1)2，
g（-2）=6-

2

3

(t-1)2=-

2

3

（t+2）（t-4）＞0，g（1）=-

2

3

（t-1）²＜0，
g（t）=t²-t-

2

3

(t-1)2=

1

3

（t²+t-2）=

1

3

（t+2）（t-1）＞0，
∴g（x）在區(qū)間[-2，1）、（1，t）分別存在零點(diǎn)，
又由二次函數(shù)的單調(diào)性可知：g（x）最多存在兩個(gè)零點(diǎn)，
∴關(guān)于x的方程：

f′(x)

ex

=

2

3

（t-1）²在區(qū)間[-2，t]上總有兩個(gè)不同的解．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的正負(fù)對(duì)應(yīng)著函數(shù)的增減．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常會(huì)運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想方法．屬于中檔題．