Question

若關(guān)于x的方程x2-zx+1-

15

i=0（其中z∈C）有實(shí)根，求復(fù)數(shù)z的模的最小值，并求當(dāng)復(fù)數(shù)z的模取到最小值時(shí)方程的解．

Answer 1

分析：在x2-zx+1-

15

i=0中，將z進(jìn)行分離，得出z=( x+

1

x

)-

15

x

i，利用復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式又得|z| =

( x+ 1 x )2+ 15 x2

=

x2+ 16 x2 +2

，再利用基本不等式求出最小值，繼而去求方程的解．

解答：解：∵x∈R，∴zx=x2+1-

15

i⇒z=( x+

1

x

 )-

15

x

i，
故|z| =

( x+ 1 x  )2+ 15 x2

=

x2+ 16 x2 +2

≥

8+2

=

10

．
當(dāng)且僅當(dāng)x²=

16

x2

，即 x=±2時(shí)，|z|取得最小值

10

．
當(dāng)x₁=2時(shí)，由4-2z+1-

15

i⇒z=

5

2

-

15

2

i，則另一解為x2=

1

2

-

15

2

i；
當(dāng)x₁=-2時(shí)，由4+2z+1-

15

i⇒z=-

5

2

+

15

2

i，則另一解為x2=-

1

2

+

15

2

i．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了參數(shù)分離法，基本不等式的應(yīng)用．二次方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)韋達(dá)定理仍然成立．