Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n＞0，a_n+1是函數(shù)f（x）=x³+的極小值點(diǎn)．
（1）證明數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，并求出通項(xiàng)公式a_n；
（2）設(shè)b_n=na_n²，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的極值點(diǎn)，即可得到數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，從而求出通項(xiàng)公式a_n；
（2）利用錯(cuò)位相減法，求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，即可證明結(jié)論．
解答：證明：（1）求導(dǎo)函數(shù)可得=
∵a_n＞0，∴f（x）在（-∞，-1）、（，+∞）上遞增，在（-1，）上遞減
∴f（x）的極小值點(diǎn)為，∴
∵a₁=1，∴數(shù)列{a_n}為首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，
∴通項(xiàng)公式a_n=；
（2）b_n=na_n²=
∴S_n=①
∴S_n=②
①-②：S_n==
∴S_n=＜．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，確定數(shù)列的通項(xiàng)，正確運(yùn)用求和公式是關(guān)鍵．