Question

已知二次函數(shù)f（x）=x²-2mx+1，若對于[0，1]上的任意三個實數(shù)a，b，c，函數(shù)值f（a），f（b），f（c）都能構(gòu)成一個三角形的三邊長，則滿足條件的m的值可以是

（0＜m＜

2

2

內(nèi)的任一實數(shù)）

．（寫出一個即可）

Answer 1

分析：根據(jù)對于[0，1]上的任意三個實數(shù)a，b，c，函數(shù)值f（a），f（b），f（c）都能構(gòu)成一個三角形的三邊長可知只需當(dāng)x∈[0，1]時，

f(x) min＞0 2f(x) min＞f(x) max

，然后討論m，求出滿足條件的m的值即可．

解答：解：由題意當(dāng)x∈[0，1]時，

f(x) min＞0 2f(x) min＞f(x) max

；
當(dāng)m≤0時，

f(x)min=f(0)=1＞0 2f(x)min=2＞f(x)max=f(1)=2-2m⇒m＞0

不存在；
當(dāng)m≥1時，

f(x)min=f(1)=2-2m＞0 2f(x)min=4-4m＞f(x)max=f(0)=1

⇒m＜

3

4

，不存在；
當(dāng)0＜m≤

1

2

時，

f(x)min=f(m)=1-m2＞0 2f(x)min=2-2m2＞f(x)max=f(1)=2-2m

⇒0＜m＜1，
所以這時0＜m≤

1

2

；
當(dāng)

1

2

＜m＜1時，

f(x)min=f(m)=1-m2＞0 2f(x)min=2-2m2＞f(x)max=f(0)=1

⇒-

2

2

＜m＜

2

2

，
所以這時

1

2

＜m＜

2

2

；綜上所述0＜m＜

2

2

．
故答案為：0＜m＜

2

2

內(nèi)的任一實數(shù)．

點評：本題主要考查了函數(shù)最值的應(yīng)用，以及構(gòu)成三角形的條件，同時考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．