Question

已知二次函數f（x）=x²+bx+c（b、c∈R），不論α、β為何實數，恒有f（sinα）≥0，f（2+cosβ）≤0．
（1）求證：b+c=-1；
（2）求證：c≥3；
（3）若函數f（sinα）的最大值為8，求b、c的值．

Answer 1

【答案】分析：本題考查的是不等式的綜合應用問題．在解答時：
（1）充分利用條件不論α、β為何實數，恒有f（sinα）≥0，f（2+cosβ）≤0．注意分析sinα、2+cosβ的范圍，利用夾逼的辦法即可獲得問題的解答；
（2）首先利用（1）的結論對問題進行化簡化為只有參數c的函數，再結合條件不論β為何實數，恒有f（2+cosβ）≤0，即可獲得問題的解答；
（3）首先對函數進行化簡配方，然后利用二次函數的性質結合自變量和對稱軸的范圍即可獲得問題的解答．
解答：解：（1）證明：∵|sinα|≤1且f（sinα）≥0恒成立，可得f（1）≥0．
又∵1≤2+cosβ≤3且f（2+cosβ）≤0恒成立，可得f（1）≤0，
∴f（1）=0，
∴1+b+c=0，∴b+c=-1．
（2）證明：∵b+c=-1，∴b=-1-c，
∴f（x）=x²-（1+c）x+c=（x-1）（x-c）．
又∵1≤2+cosβ≤3且f（2+cosβ）≤0恒成立
∴x-c≤0，即c≥x恒成立．
∴c≥3．
（3）∵f（sinα）=sin²α-（1+c）sinα+c=（sinα-）²+c-（）²，
∵
∴當sinα=-1時，f（sinα）的最大值為1-b+c．
由1-b+c=8與b+c=-1聯立，
可得b=-4，c=3．
即b=-4，c=3．
點評：本題考查的是不等式的綜合類問題，在解答的過程當中充分體現了夾逼的技巧、恒成立的思想以及數形結合的思想．值得同學們體會與反思．