Question

已知：函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和值域；
（2）若函數(shù)f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)，．求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用輔助角公式將函數(shù)轉(zhuǎn)化為，函數(shù)f（x）的最小正周期和值域可求；
（2）解法一：將（）代入，可得，根據(jù)，可求，
             =2sinα=，利用兩角和的正弦公式可使問(wèn)題得到解決；
     解法二：將展開(kāi)得，根據(jù)題中條件可得，
            從而得=，展開(kāi)得，解關(guān)于sinα，cosα的方程組可求得sinα，
            又=2sinα，問(wèn)題即可得到解決；
     解法三：由可求，根據(jù)α的范圍可求，
             利用sin²2α+cos²2=1求得 cos2α=，
            由升冪公式可得；結(jié)合可求sinα，又=2sinα，問(wèn)題得到解決．
解答：解：（1）==---（3分）
∴函數(shù)的最小正周期為2π，值域?yàn)閧y|-2≤y≤2}．
（2）解法1：依題意得：，，
∵．∴，∴==
∵=
∴=
解法2：依題意得：，得----①
∵．∴，∴=
由=得-----------②
①+②得，∴=
解法3：由得，
兩邊平方得，，，
∵．∴由＞0知
∴，由cos2α=1-2sin²α，得
∴∴=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦函數(shù)性質(zhì)，解決的方法靈活，解法一側(cè)重拼湊角的方法，考查兩角和的正弦公式的應(yīng)用，解法二側(cè)重方程組思想方法，解法三側(cè)重于倍角公式，升冪公式的考查，屬于中檔題．