Question

2．O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且2$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{AD}$=t$\overrightarrow{AC}$，若B，O，D三點(diǎn)共線，則t的值為（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 以O(shè)B，OC為鄰邊作平行四邊形OBFC，連接OF與 BC相交于點(diǎn)E，E為BC的中點(diǎn)．2$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，可得$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$=-2$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{OF}$=2$\overrightarrow{OE}$，因此點(diǎn)O是直線AE的中點(diǎn)．可得B，O，D三點(diǎn)共線，$\overrightarrow{AD}$=t$\overrightarrow{AC}$，∴點(diǎn)D是BO與AC的交點(diǎn)．過點(diǎn)O作OM∥BC交AC于點(diǎn)M，點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)．利用平行線的性質(zhì)即可得出．

解答 解：以O(shè)B，OC為鄰邊作平行四邊形OBFC，連接OF與 BC相交于點(diǎn)E，E為BC的中點(diǎn)．
∵2$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，∴$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$=-2$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{OF}$=2$\overrightarrow{OE}$，
∴點(diǎn)O是直線AE的中點(diǎn)．
∵B，O，D三點(diǎn)共線，$\overrightarrow{AD}$=t$\overrightarrow{AC}$，∴點(diǎn)D是BO與AC的交點(diǎn)．
過點(diǎn)O作OM∥BC交AC于點(diǎn)M，則點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)．
則OM=$\frac{1}{2}$EC=$\frac{1}{4}$BC，
∴$\frac{DM}{DC}$=$\frac{1}{4}$，
∴$DM=\frac{1}{3}MC$，
∴AD=$\frac{2}{3}$AM=$\frac{1}{3}$AC，$\overrightarrow{AD}$=t$\overrightarrow{AC}$，
∴t=$\frac{1}{3}$．
另解：由2$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，∴點(diǎn)O是直線AE的中點(diǎn)．
∵B，O，D三點(diǎn)共線，∴存在實(shí)數(shù)k使得$\overrightarrow{AO}$=k$\overrightarrow{AB}$+（1-k）$\overrightarrow{AD}$=k$\overrightarrow{AB}$+（1-k）t$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{4}$$（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，
∴k=$\frac{1}{4}$，（1-k）t=$\frac{1}{4}$，解得t=$\frac{1}{3}$．

故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了向量三角形法則、平行線的性質(zhì)定理、向量共線定理三角形中位線定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．