Question

設函數f（x）=lnx-ax．
（Ⅰ）求f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若a=，g（x）=x（f（x）+1），（x＞1）且g（x）在區(qū)間（k，k+1）內存在極值，求整數k的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）首先求出函數的導數，然后根據導數與單調區(qū)間的關系確定函數的單調區(qū)間．
（Ⅱ）當a=時，g（x）=x（f（x）+1）=x（lnx-x+1）=xlnx+x-x²，（x＞1），令F（x）=g′（x）=lnx-x+2，利用導數可得F（x）在（1，+∞）內單調遞減，再利用零點存在定理得出F（x）即g′（x）在（3，4）內有零點，從而g′（x）在（3，4）內存在極值，結合已知條件求出整數k的值．
解答：解：（Ⅰ）∵x＞0，所以當a≤0時，f′（x）=-a＞0，f（x）在（0，+∞）是增函數…（4分）
當a＞0時，f（x）在（0，）上f′（x）=-a＞0，f（x）在（，+∞）上f′（x）=-a＜0，
故f（x）在（0，）上是增函數，f（x）在（，+∞）上是減函數．
（Ⅱ）當a=時，g（x）=x（f（x）+1）=x（lnx-x+1）=xlnx+x-x²，（x＞1）
∴g′（x）=lnx-x+2…（6分）
令F（x）=g′（x）=lnx-x+2，
則f′（X）=-1＜0，∴F（x）在（1，+∞）內單調遞減．…（8分）
∵F（1）=1＞0．F（2）=ln2＞0，F(xiàn)（3）=g′（3）=ln3-3+2=ln3-1＞0．
F（4）=g′（4）=ln4-4+2=ln4-2＜0，（9分）
∴F（x）即g′（x）在（3，4）內有零點，即g′（x）在（3，4）內存在極值．…（11分）
又∵g（x）在（k，k+1）上存在極值，且k∈Z，
∴k=3．…（12分）
點評：本題主要考查導數與函數單調性的關系，會熟練運用導數解決函數的極值問題．求函數的單調區(qū)間，應該先求出函數的導函數，令導函數大于0得到函數的遞增區(qū)間，令導函數小于0得到函數的遞減區(qū)間．