Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2ax，g（x）=3a²Inx+b，
（Ⅰ）設(shè)兩曲線y=f（x）與y=g（x）有公共點，且在公共點處的切線相同，若a＞0，試建立b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）若b=0，h（x）=f（x）+g（x）-（2a+6）x在（0，4）上為單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）設(shè)公共點（x，y），根據(jù)題意得到，f（x）=g（x），f′（x）=g′（x），解出b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式；
（II）根據(jù)已知h（x）為單調(diào)函數(shù)，則h′（x）≥0或h′（x）≤0，解出a的取值范圍即可．
解答：解：（I）設(shè)y=f（x）與y=g（x）（x＞0）在公共點（x，y）處的切線相同．
f′（x）=x+2a，g′（x）=．
由題意知f（x）=g（x），f′（x）=g′（x）
即 ，
解得x=a或x=-3a（舍去），
b=-3a²lna（a＞0）
（II）h（x）=x²+3a²lnx-6x，h′（x）=x+-6
要使h（x）在（0，4）上單調(diào)，
須h′（x）=x+-6≤0或h′（x）=x+-6≥0在（0，4）上恒成立．
h′（x）=x+-6≤0在（0，4）上恒成立
?3a²≤-x²+6x在（0，4）上恒成立．
而-x²+6x＞0，且-x²+6x可為足夠小的正數(shù)，必有a=0
或h′（x）=x+-6≥0在（0，4）上恒成立
?3a²≥（-x²+6x）_max=9，得a≥或a≤-．
綜上，所求a的取值范圍為a≥或a≤-或a=0．
點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等函數(shù)的基礎(chǔ)知識，是一道關(guān)于函數(shù)的綜合題，應(yīng)熟練掌握其求解的方法步驟．