如圖，在邊長為l的等邊△ABC中，圓O1為△ABC的內(nèi)切圓，圓O2與圓O1外切，且與AB、BC相切……圓On+1與圓On外切，且與AB、BC相切，如此無限繼續(xù)下去，記圓On的面積為an(n∈N*).

(1)證明:{an}是等比數(shù)列；

(2)求（a1+a2+a3+…+an）的值.

解：（1）記rn為圓On的半徑.

r1=tan30°=l，=sin30°=,

∴rn=rn-1(n≥2).

∴a1=πr12=,

.

∴{an}成等比數(shù)列.

（2）∵an=()n-1·a1(n∈N),

∴（a1+a2+…+an）=.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在邊長為l的等邊△ABC中，圓O1為△ABC的內(nèi)切圓，圓O2與圓O1外切，且與AB，BC相切，…，圓On+1與圓On外切，且與AB，BC相切，如此無限繼續(xù)下去．記圓On的面積為an（n∈N）．
（Ⅰ）證明{an}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求
limn→∞
（a1+a2+…+an）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（03年北京卷）（13分）

如圖，在邊長為l的等邊△ABC中，圓O1為△ABC的內(nèi)切圓，圓O2與圓O1外切，且與AB，BC相切，…，圓On+1與圓On外切，且與AB，BC相切，如此無限繼續(xù)下去. 記圓On的面積為.

   （Ⅰ）證明是等比數(shù)列；

   （Ⅱ）求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

21. 如圖，在邊長為l的等邊△ABC中，圓O1為△ABC的內(nèi)切圓，圓O2與圓O1外切，且與AB，BC相切，…，圓On+1與圓On外切，且與AB、BC相切，如此無限繼續(xù)下去.記圓On的面積為an（n∈N）.

（1）證明{an}是等比數(shù)列；

 

（2）求（a1+a2+…+an）的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2003年北京市春季高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，在邊長為l的等邊△ABC中，圓O1為△ABC的內(nèi)切圓，圓O2與圓O1外切，且與AB，BC相切，…，圓On+1與圓On外切，且與AB，BC相切，如此無限繼續(xù)下去．記圓On的面積為an（n∈N）．
（Ⅰ）證明{an}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求（a1+a2+…+an）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2006年高考第一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)：14.6 函數(shù)的連續(xù)性及極限的應(yīng)用（解析版） 題型：解答題

如圖，在邊長為l的等邊△ABC中，圓O1為△ABC的內(nèi)切圓，圓O2與圓O1外切，且與AB，BC相切，…，圓On+1與圓On外切，且與AB，BC相切，如此無限繼續(xù)下去．記圓On的面積為an（n∈N）．
（Ⅰ）證明{an}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求（a1+a2+…+an）的值．

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