（本小題滿分13分）

如圖，已知橢圓:的一個焦點是（1，0），兩個焦點與短軸的一個端點構成等邊三角形.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過點(4,0)且不與坐標軸垂直的直線交橢圓于、兩點，設點關于軸的對稱點為.

（ⅰ）求證：直線過軸上一定點，并求出此定點坐標；

（ⅱ）求△面積的取值范圍.

 

 

【答案】

解：（Ⅰ）因為橢圓的一個焦點是（1，0），所以半焦距=1.因為橢圓兩個焦點與短軸的一個端點構成等邊三角形.

所以，解得

 

所以橢圓的標準方程為.  …4分                

（Ⅱ）（i）設直線：與聯(lián)立并消去得：.記，，

，

.  ……………5分

由A關于軸的對稱點為，得，

根據(jù)題設條件設定點為（，0），

得，即.

所以

即定點（1 ， 0）.                 ……………………………8分

（ii）由（i）中判別式，解得.   可知直線過定點 (1,0).

所以    　　　………10分

得,  令

記，得，當時，.

在上為增函數(shù). 所以 ，

得.故△OA1B的面積取值范圍是.  ……………13分

 

【解析】略

 

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