Question

已知函數(shù)f（x）=ln x-ax   （a∈R，a＞0）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在[1，2]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）求出導(dǎo)函數(shù)f′（x）=

1

x

-a，并且解出它的零點(diǎn)x=

1

a

，再分區(qū)間（0，

1

a

）和（

1

a

，+∞）上討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可得到函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）分a≥1、0＜a≤

1

2

和

1

2

＜a＜1三種情況加以討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)值的大小比較，即可得到當(dāng)0＜a＜ln 2時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值是-a；當(dāng)a≥ln2時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值是ln2-2a．

解答：解   （1）函數(shù)f（x）的定義域 為（0，+∞）．
f′（x）=

1

x

-a=

1-ax

x

                                          （2分）
因?yàn)閍＞0，令f′（x）=

1

x

-a=0，可得x=

1

a

；
當(dāng)0＜x＜

1

a

時(shí)，f′（x）=

1-ax

x

＞0；當(dāng)x＞

1

a

時(shí)，f′（x）=

1-ax

x

＜0，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，

1

a

），單調(diào)遞減區(qū)間為（

1

a

，+∞）．（4分）
（2）①當(dāng)0＜

1

a

≤1，即a≥1時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，
∴f（x）的最小值是f（2）=ln2-2a．（6分）
②當(dāng)

1

a

≥2，即0＜a≤

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，
∴f（x）的最小值是f（1）=-a．（8分）
③當(dāng)1＜

1

a

＜2，即

1

2

＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）在（1，

1

a

）上是增函數(shù)，在（

1

a

，2）上是減函數(shù)．
又∵f（2）-f（1）=ln2-a，
∴當(dāng)

1

2

＜a＜ln 2時(shí)，f（x）的最小值是f（1）=-a；
當(dāng)ln2≤a＜1時(shí)，f（x）的最小值為f（2）=ln2-2a．（10分）
綜上可知，當(dāng)0＜a＜ln 2時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值是f（x）_min=-a；
當(dāng)a≥ln2時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值是f（x）_min=ln2-2a．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出含有對(duì)數(shù)的函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性并求函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值，著重考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)在閉區(qū)間上最值求法等知識(shí)，屬于中檔題．