Question

11．已知f（x）是定義在區(qū)間[1，4]上的函數(shù)，若對[1，4]上的任意的兩個自變量x₁，x₂，總有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，則不等式f（x+2）＞f（3-2x）的解集為[-$\frac{1}{2}$，1）．

Answer 1

分析 判斷函數(shù)f（x）為減函數(shù)，結(jié)合函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可

解答 解：對[1，4]上的任意的兩個自變量x₁，x₂，總有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，
∴f（x）在[1，4]為減函數(shù)，
∵不等式f（x+2）＞f（3-2x），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+2＜3-2x}\\{1≤x+2≤4}\\{1≤3-2x≤4}\end{array}\right.$，
解得-$\frac{1}{2}$≤x＜$\frac{1}{3}$，
故不等式的解集為[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$），
故答案為：[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$）

點(diǎn)評 本題主要考查不等式的求解，根據(jù)條件判斷函數(shù)的單調(diào)性以及根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，是解決本題的關(guān)鍵．