Question

7．設F（x）為f（x）的原函數，且當x≥0時有：f（x）F（x）=$\frac{x{e}^{x}}{2（1+x）^{2}}$，已知F（0）=1，F（x）＞0，試求f（x）．

Answer 1

分析 根據題意，得出∫f（x）F（x）dx=∫F（x）dF（x）=$\frac{1}{2}$F²（x），
求出F²（x），即得F（x），從而求出f（x）．

解答 解：F（x）為f（x）的原函數，且當x≥0時有：f（x）F（x）=$\frac{x{e}^{x}}{2（1+x）^{2}}$，
∴∫f（x）F（x）dx=∫$\frac{{xe}^{x}}{{2（1+x）}^{2}}$dx；
又∫F（x）dF（x）=$\frac{1}{2}$F²（x），
∴F²（x）=∫$\frac{{xe}^{x}}{{（1+x）}^{2}}$dx
=-∫xe^xd（$\frac{1}{1+x}$）
=-$\frac{{xe}^{x}}{1+x}$+∫$\frac{1}{1+x}$（1+x）e^xdx
=-$\frac{{xe}^{x}}{1+x}$+e^x+C
=$\frac{{e}^{x}}{1+x}$+C；
又F（0）=1，F（x）＞0，
∴F²（x）=$\frac{{e}^{x}}{1+x}$，
∴F（x）=$\sqrt{\frac{{e}^{x}}{1+x}}$
∴f（x）=F′（x）
=$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{1+x}{{e}^{x}}}$•$\frac{{e}^{x}（1+x）{-e}^{x}}{{（1+x）}^{2}}$
=$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{1+x}{{e}^{x}}}$•$\frac{{xe}^{x}}{{（1+x）}^{2}}$，x≥0．

點評 本題考查了導數的應用問題，也考查了積分與原函數的應用問題，是綜合性題目．