Question

已知函數(shù)f（x）=x²ln|x|，
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若關(guān)于x的方程f（x）=kx-1在（0，+∞）上有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)的奇偶性的定義即可判斷出；
（2）先對x＞0時(shí)利用導(dǎo)數(shù)得出單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性可以得出x＜0時(shí)的單調(diào)性；
（3）通過分離參數(shù)k，利用導(dǎo)數(shù)即可求出此時(shí)函數(shù)的極值即最值，從而可得出k的取值范圍．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x∈R且x≠0}．
∵f（-x）=（-x）²ln|-x|=x²ln|x|=f（x），∴函數(shù)f（x）為偶函數(shù)．
（2）當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x²lnx．
∴f′(x)=2xlnx+x2×

1

x

=2x(lnx+

1

2

)，
令f^′（x）=0，解得x=e-

1

2

．
若0＜x＜e-

1

2

，則f^′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
若x＞e-

1

2

，則f^′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
再由函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，當(dāng)x＜0時(shí)的單調(diào)性如下：
函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是(-e-

1

2

，0)；單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞，e-

1

2

)．
綜上可知：函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是(-e-

1

2

，0)，(e-

1

2

，+∞)；
單調(diào)遞減區(qū)間是(0，e-

1

2

)，(-∞，e-

1

2

)．
（3）由f（x）=kx-1，得xln|x|+

1

x

=k，
令g（x）=xln|x|+

1

x

．
當(dāng)x＞0時(shí)，g^′（x）=lnx+1-

1

x2

=lnx+

x2-1

x2

，可知g^′（1）=0．
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g^′（x）＜0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞1時(shí)，g^′（x）＞0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增．
∴當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）_min=g（1）=1．
因此關(guān)于x的方程f（x）=kx-1在（0，+∞）上有實(shí)數(shù)解的k的取值范圍是[1，+∞）．

點(diǎn)評：熟練掌握函數(shù)的奇偶性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及分離參數(shù)法是解題的關(guān)鍵．