Question

某品牌設(shè)計(jì)了編號(hào)依次為1，2，3，…，n（n≥4，且n∈N^*）的n種不同款式的時(shí)裝，由甲、乙兩位模特分別獨(dú)立地從中隨機(jī)選擇i，j（0≤i，j≤n，且i，j∈N）種款式用來(lái)拍攝廣告．
（1）若i=j=2，且甲在1到m（m為給定的正整數(shù)，且2≤m≤n-2）號(hào)中選擇，乙在（m+1）到n號(hào)中選擇．記P_st（1≤s≤m，m+1≤t≤n）為款式（編號(hào)）s和t同時(shí)被選中的概率，求所有的P_st的和；
（2）求至少有一個(gè)款式為甲和乙共同認(rèn)可的概率．

Answer 1

分析：（1）求出甲從1到m（m為給定的正整數(shù)，且2≤m≤n-2）號(hào)中任選兩款，乙從（m+1）到n號(hào)中任選兩款的所有等可能基本事件的種數(shù)，款式s和t（1≤s≤m，m+1≤t≤n）同時(shí)被選中包含的基本事件的種數(shù)，利用古典概型概率計(jì)算公式可求；
（2）求出甲、乙從n種不同款式的服裝中選取服裝的所有可能種數(shù)，確定“沒(méi)有一個(gè)款式為甲和乙共同認(rèn)可”包含的基本事件種數(shù)，利用對(duì)立事件的概率公式可求．

解答：解：（1）甲從1到m（m為給定的正整數(shù)，且2≤m≤n-2）號(hào)中任選兩款，乙從（m+1）到n號(hào)中任選兩款的所有等可能基本事件的種數(shù)為

C

2 m

C

2 n-m

，
記“款式s和t（1≤s≤m，m+1≤t≤n）同時(shí)被選中”為事件B，則事件B包含的基本事件的種數(shù)為

C

1 1

C

1 m-1

•

C

1 1

C

1 n-(m+1)

，
所以P（B）=Pst=

C 1 1 C 1 m-1 • C 1 1 C 1 n-(m+1)

C 2 m C 2 n-m

=

4

m(n-m)

，
則所有的P_st的和為：

C

1 m

C

1 n-m

•

4

m(n-m)

=4；（4分）
（2）甲從n種不同款式的服裝中選取服裝的所有可能種數(shù)為：

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

+…+

C

n n

=2ⁿ，
同理得，乙從n種不同款式的服裝中選取服裝的所有可能種數(shù)為2ⁿ，
據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得，所有等可能的基本事件的種數(shù)為：2ⁿ•2ⁿ=4ⁿ，
記“至少有一個(gè)款式為甲和乙共同認(rèn)可”為事件A，則事件A的對(duì)立事件

.

A

為：“沒(méi)有一個(gè)款式為甲和乙共同認(rèn)可”，
而事件

.

A

包含的基本事件種數(shù)為：

C

0 n

•(

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

+…+

C

n n

)+

C

1 n

•(

C

0 n-1

+

C

1 n-1

+

C

2 n-1

+…+

C

n-1 n-1

)+…+

C

n-1 n

•(

C

0 1

+

C

1 1

)+

C

n n

•(

C

0 0

)=

C

0 n

•2n+

C

1 n

•2n-1+…+

C

n-1 n

•2+

C

n n

•20=（1+2）ⁿ=3ⁿ，
所以P(A)=1-P(

.

A

)=1-(

3

4

)n．（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查組合數(shù)的性質(zhì)、二項(xiàng)式定理，考查推理論證能力，屬于中檔題．