Question

8．在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸為正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（1）求曲線ρ=cosθ+1與ρcosθ=1的公共點(diǎn)到極點(diǎn)的距離；
（2）橢圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=acosθ}\\{y=bsinθ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)，a＞b＞0），直線l與圓O的極坐標(biāo)方程分別為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$m（m為非零常數(shù)）與ρ=b，若直線l經(jīng)過橢圓C的焦點(diǎn)，且與圓O相切，求橢圓C的離心率．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立ρ=cosθ+1與ρcosθ=1消掉θ即可求得ρ，即為答案；
（2）先根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換關(guān)系將直線l的極坐標(biāo)方程分別為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$m（m為非零常數(shù)）化成直角坐標(biāo)方程，再利用直線l經(jīng)過橢圓C的焦點(diǎn)，且與圓O相切，從而得到c=$\sqrt{2}$b，又b²=a²-c²，消去b后得到關(guān)于a，c的等式，即可求出橢圓C的離心率．

解答 解：（1）由ρ=cosθ+1得，cosθ=ρ-1，代入ρcosθ=1得ρ（ρ-1）=1，
解得ρ=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$或ρ=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$（舍），
∴曲線ρ=cosθ+1與ρcosθ=1的公共點(diǎn)到極點(diǎn)的距離為$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$；
（2）直線l的極坐標(biāo)方程分別為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$m（m為非零常數(shù)）化成直角坐標(biāo)方程為x+y-m=0，
它與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（m，0），由題意知，（m，0）為橢圓的焦點(diǎn)，故|m|=c，
又直線l與圓O：ρ=b相切，∴$\frac{|-m|}{\sqrt{2}}$=b，
從而c=$\sqrt{2}$b，又b²=a²-c²，
∴c²=2（a²-c²），
∴3c²=2a²，∴$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}$．
則橢圓C的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩點(diǎn)間距離公式、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，考查了橢圓的離心率，考查了參數(shù)方程化成普通方程，點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，考查學(xué)生分析問題的能力，屬基礎(chǔ)題．