已知拋物線C：x2=4y的焦點(diǎn)為F，直線l過(guò)點(diǎn)F交拋物線C于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），求的取值范圍；
（Ⅱ）是否存在定點(diǎn)Q，使得無(wú)論AB怎樣運(yùn)動(dòng)都有∠AQF=∠BQF？證明你的結(jié)論．
【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)直線l方程為y=kx+1，將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用基本不等式即可求得求的取值范圍，從而解決問(wèn)題．
（Ⅱ）對(duì)于存在性問(wèn)題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)存在定點(diǎn)Q，使得無(wú)論AB怎樣運(yùn)動(dòng)都有∠AQF=∠BQF，再利用斜率公式結(jié)合推理，求出Q點(diǎn)，若出現(xiàn)矛盾，則說(shuō)明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)直線l方程為y=kx+1代入x2=4y得x2-4kx-4=0
設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2），則x1+x2=4k，x1x2=-4
所以的取值范圍是[2，+∞）．（7分）
（Ⅱ）當(dāng)l平行于x軸時(shí)，要使∠AQF=∠BQF，則Q必在y軸上．
設(shè)點(diǎn)Q（0，b），由題意得
，
∵，∴
∴Q（0，-1）
∵以上每步可逆，
∴存在定點(diǎn)Q（0，-1），使得∠AQF=∠BQF（15分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線與拋物線的聯(lián)立問(wèn)題．直線與圓錐曲線的聯(lián)立是高考考查圓錐曲線的一種典型題型，一般作為壓軸題出現(xiàn)．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線C：x2=2py（p＞0），其焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為
12
．
（1）試求拋物線C的方程；
（2）設(shè)拋物線C上一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t（t＞0），過(guò)P的直線交C于另一點(diǎn)Q，交x軸于M，過(guò)點(diǎn)Q作PQ的垂線交C于另一點(diǎn)N，若MN是C的切線，求t的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線C：x2=
12
y和定點(diǎn)P（1，2），A、B為拋物線C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線PA和PB的斜率為非零的互為相反數(shù)．
（I）求證：直線AB的斜率是定值；
（II）若拋物線C在A、B兩點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)M，求M的軌跡方程；
（III）若A′與A關(guān)于y軸成軸對(duì)稱(chēng)，求直線A′B與y軸交點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線C：x2=2py，過(guò)點(diǎn)A（0，4）的直線l交拋物線C于M，N兩點(diǎn)，且OM⊥ON．
（1）求拋物線C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)N作y軸的平行線與直線y=-4相交于點(diǎn)Q，若△MNQ是等腰三角形，求直線MN的方程．K．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線C：x2=ay（a＞0），斜率為k的直線l經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F，交拋物線于A，B兩點(diǎn)，且拋物線上一點(diǎn)M(2
2
 ， m) (m＞1)到點(diǎn)F的距離是3．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若k＞0，且
AF
=3
FB
，求k的值．
（Ⅲ）過(guò)A，B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，這兩條切線的交點(diǎn)為點(diǎn)Q，求證：
AB
 • 
FQ
=0．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線C：x2=2my（m＞0）和直線l：y=x-m沒(méi)有公共點(diǎn)（其中m為常數(shù)）．動(dòng)點(diǎn)P是直線l上的任意一點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)引拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為M、N，且直線MN恒過(guò)點(diǎn)Q（1，1）．
（1）求拋物線C的方程；
（2）已知O點(diǎn)為原點(diǎn)，連接PQ交拋物線C于A、B兩點(diǎn)，求
|PA|
|
PB|
-
|
QA|
|
QB|
的值．

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