Question

【題目】如圖，四棱錐 中，底面 為平行四邊形， ， ， ．

(Ⅰ)證明：平面 平面 ；
(Ⅱ)若二面角 為 ，求 與平面 所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵ ,

,

∴ ⊥平面 ，

∴

又

∴

又

,

,又因?yàn)? ∥

∴

又∵ , 平面 , 平面

∴ 平面

而 平面 ∴平面 平面

(Ⅱ)由（Ⅰ）所證， 平面

所以∠ 即為二面角 的平面角，即∠

而 ，所以

分別以 、 、 為 軸、 軸、 軸建立空間直角坐標(biāo)系。

則 ， ， ，

所以， ， ，

設(shè)平面 的法向量為 ，則

即 可取

∴ 與平面 所成角的正弦值為

【解析】(I)證明面面垂直，關(guān)鍵是線(xiàn)面垂直，由題知P D ⊥平面 A B C D，可得P D ⊥ B C，，根據(jù)余弦定理可得B C ⊥ B D，得證。
（II）由第（I）問(wèn)可建系，根據(jù)長(zhǎng)度關(guān)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出面OBC的法向量，應(yīng)用線(xiàn)面角的公式可得。
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解平面與平面垂直的判定(一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線(xiàn)，則這兩個(gè)平面垂直)，還要掌握用空間向量求直線(xiàn)與平面的夾角(設(shè)直線(xiàn)的方向向量為，平面的法向量為，直線(xiàn)與平面所成的角為，與的夾角為，　則為的余角或的補(bǔ)角的余角.即有：)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．