Question

平面上動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F（1，0）的距離等于它到直線x=-1的距離．
（Ⅰ）求點(diǎn)P的軌跡方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)M（4，0）的直線與點(diǎn)P的軌跡交于A，B兩點(diǎn)，求

OA

•

OB

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：與直線有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專(zhuān)題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）設(shè)P（x，y），由已知平面上動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F（1，0）的距離等于它到直線x=-1的距離，利用拋物線的定義，可求點(diǎn)P的軌跡方程；
（Ⅱ）分類(lèi)討論，設(shè)出直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用向量的數(shù)量積公式化簡(jiǎn)可得結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)P（x，y），由已知平面上動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F（1，0）的距離等于它到直線x=-1的距離，
∴點(diǎn)P滿(mǎn)足拋物線定義，點(diǎn)P的軌跡為焦點(diǎn)在x軸正半軸的拋物線，p=2，
∴點(diǎn)P的軌跡方程為y²=4x．　　　　　　　　　　　　　　…（5分）
（Ⅱ）若直線AB的斜率不存在，則AB直線方程為：x=4，
A（4，4），B（4，-4），

OA

•

OB

=4×4-4×4=0
若直線AB的斜率存在，設(shè)為k，
則AB直線方程為：y=k（x-4），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

y=k(x-4) y2=4x

得k²x²-（8k²+4）x+16k²=0，
則k≠0，△=64k²+16＞0恒成立，
x1+x2=

8k2+4

k2

，x1•x2=16，
y1•y2=k(x1-4)k(x2-4)=k2[x1x2-4(x1+x2)+16]=-16，
∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=16-16=0
綜上，

OA

•

OB

=0．　　　　　　　　　　　　　　…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的定義，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．