Question

已知向量

m

=（cosωx，sinωx），

n

（cosωx，

3

cosωx）（ω＞0），函數(shù)f（x）=

m

•

n

的最小正周期為π．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且滿足a+c=8，b=7，f（

B

2

）=

3

2

，求△ABC的面積．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運算,余弦定理

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（1）首先利用已知條件利用向量的坐標(biāo)和向量的數(shù)量積求出函數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)一步通過三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，把函數(shù)變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步利用函數(shù)的周期求出函數(shù)的解析式，最后求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）利用（1）的結(jié)論，進(jìn)一步利用余弦定理和三角形的面積公式求出結(jié)果．

解答： 解：（1）向量

m

=（cosωx，sinωx），

n

=（cosωx，

3

cosωx）
則：f（x）=

m

•

n

=cos2ωx+

3

sinωxcosωx
=

1+cos2ωx

2

+

3

2

sin2ωx
=sin(2ωx+

π

6

)+

1

2

 由最小正周期是π及ω＞0
得到：T=

2π

2ω

=π
解得：ω=1
所以：f（x）=sin(2x+

π

6

)+

1

2

令：-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ
解得：-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]（k∈Z）
（2）由已知f（

B

2

）=

3

2

得：sin(B+

π

6

)+

1

2

=

3

2

解得：sin(B+

π

6

)=1
由于B是三角形的內(nèi)角，
所以：B=

π

3

由于：a+c=8，b=7，
所以：b²=a²+c²-2accosB
=（a+c）²-3ac
所以：ac=5
S△ABC=

1

2

acsinB=

5 3

4

點評：本題考查的知識要點：向量的坐標(biāo)運算，向量的數(shù)量積運算，三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，余弦定理的應(yīng)用，三角形面積的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題型．