如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=2,AB=1,M為線段PD的中點(diǎn).
(I)求證:BM⊥PD
(II)求直線CM與PB所成角的余弦值.
分析:(I)連接BD,計(jì)算PB=BD=
5
,利用M為線段PD的中點(diǎn),可得結(jié)論;
(II)連接AC,與BD交于O,連接OM,證明∠MOC(或其補(bǔ)角)為直線CM與PB所成角,利用余弦定理,可求直線CM與PB所成角的余弦值.
解答:(I)證明:連接BD,
∵四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=2,AB=1,
∴PB=BD=
5

∵M(jìn)為線段PD的中點(diǎn),
∴BM⊥PD
(II)解:連接AC,與BD交于O,連接OM,則
∵M(jìn)為線段PD的中點(diǎn),
∴MO∥PB
∴∠MOC(或其補(bǔ)角)為直線CM與PB所成角,
在△MOC中,MO=CO=
5
2
,CM=
1+
5
4
=
3
2

∴cos∠MOC=
5
4
+
5
4
-
9
4
2•
5
2
5
2
=
1
10

∴直線CM與PB所成角的余弦值為
1
10
點(diǎn)評:本題考查線線垂直,考查線面角,考查學(xué)生分析解決問題的能力,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形.已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2
2
,∠PAB=60°.
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(2)求二面角P-BD-A的正切值大。

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如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面是邊長為a的菱形,∠ABC=60°PD⊥面ABCD,PC=a,E為PB中點(diǎn)
(1)求證;平面ACE⊥面ABCD;
(2)求三棱錐P-EDC的體積.

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(2)求A到面PCD的距離.

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