Question

已知1是a²，b²的等比中項，又是

1

a

，

1

b

的等差中項，則

a+b

a2+b2

的值是

 

．

Answer 1

分析：由題設條件可知，a²b²=1，

1

a

+

1

b

=2，由此能夠?qū)С觯?span id="gejwv47" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

a+b

a2+b2

=

2ab

4-2ab

；可得ab=±1．又由

a+b

a2+b2

=

2ab

4-2ab

，分別將ab=1與ab=-1代入可得答案．

解答：解：由題意知a²b²=1，

1

a

+

1

b

=2，∴

a+b

ab

=2，∴

a2+b2+2ab

a2b2

=4，
∴a²+b²=4-2ab，a+b=2ab，∴

a+b

a2+b2

=

2ab

4-2ab

．
由a²b²=1知ab=±1．
當ab=1時，

a+b

a2+b2

=

2ab

4-2ab

=

2

4-2

=1．
當ab=-1時，

a+b

a2+b2

=

2ab

4-2ab

=

-2

4+2

=-

1

3

．
故

a+b

a2+b2

的值是1或-

1

3

．
答案：1或-

1

3

．

點評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)及其應用，解題時要熟練掌握公式的靈活運用．