Question

某數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)偶函數(shù)f（x）的性質(zhì)進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)函數(shù)f（x）在定義域R上滿足f（x+2）=f（x）+f（1），且在區(qū)間[0，1]上為增函數(shù)，在此基礎(chǔ)上，本組同學(xué)得出如下結(jié)論：
①函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱；
②函數(shù)y=f（x）的周期為2；
③當(dāng)x∈[-3，-2]時(shí)，f′（x）≥0；
④函數(shù)y=f（x）的圖象上橫坐標(biāo)為偶數(shù)的點(diǎn)都是函數(shù)的極小值點(diǎn)．其中正確結(jié)論的序號(hào)是

①②④

．

Answer 1

分析：①先確定f（1）=f（-1）=0，從而f（x+2）=f（x），利用f（x）為偶函數(shù)，可得f（1+x）=f（1-x）；
②根據(jù)f（x+2）=f（x），可知f（x） 的周期為2；
③由f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，f（x）為偶函數(shù)可推知f（x）在[-1，0]上單調(diào)遞減；又因?yàn)閒（x）是周期為2的函數(shù)，所以f（x）在[-1+2k，2k]k∈Z上單調(diào)遞減，從而f（x）在[-3，-2]上單調(diào)遞減，故f′（x）≤0；
④根據(jù)R上的偶函數(shù)在區(qū)間[0，1]上為增函數(shù)，可知0是函數(shù)的極小值點(diǎn)，根據(jù)f（x） 的周期為2，可知函數(shù)y=f（x）的圖象上橫坐標(biāo)為偶數(shù)的點(diǎn)都是函數(shù)的極小值點(diǎn)，
故可得結(jié)論．

解答：解：①，f（-1+2）=f（-1）+f（1），∴f（-1）=0，又知f（x）為偶函數(shù)，
∴f（1）=f（-1）=0，∴f（x+2）=f（x）
∵f（x）為偶函數(shù)，∴f（x+2）=f（-x），∴f（1+x）=f（1-x），
∴函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，故①正確；
②，根據(jù)f（x+2）=f（x），可知f（x） 的周期為2，故②正確；
③，由f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，f（x）為偶函數(shù)可推知f（x）在[-1，0]上單調(diào)遞減；
又因?yàn)閒（x）是周期為2的函數(shù)，所以f（x）在[-1+2k，2k]k∈Z上單調(diào)遞減，從而f（x）在[-3，-2]上單調(diào)遞減，故f′（x）≤0，所以③不正確；
④，根據(jù)R上的偶函數(shù)在區(qū)間[0，1]上為增函數(shù)，可知0是函數(shù)的極小值點(diǎn)，根據(jù)f（x） 的周期為2，可知函數(shù)y=f（x）的圖象上橫坐標(biāo)為偶數(shù)的點(diǎn)都是函數(shù)的極小值點(diǎn)，所以④正確
故正確結(jié)論的序號(hào)是①②④
故答案為：①②④

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查偶函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的周期性，函數(shù)的對(duì)稱性，合理運(yùn)用條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．