Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₁+a₂+…+a_n-1-a_n=-1（n≥2且n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（Ⅱ）令，記數(shù)列{d_n}的前n項和為S_n，若恒為一個與n無關的常數(shù)λ，試求常數(shù)a和λ．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題a₁+a₂+…+a_n-1-a_n=-1…①
∴a₁+a₂+…+a_n-a_n+1=-1…②
由①-②得：a_n+1-2a_n=0，即=2（n≥2）…（3分）
當n=2時，a₁-a₂=-1，
∵a₁=1，
∴a₂=2，=2，
所以，數(shù)列{a_n}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，
故a_n=2^n-1（n∈N^*）…（5分）
（Ⅱ）∵a_n=2^n-1，
∴d_n=1+=1+2nlog_a2，
∵d_n+1-d_n=2log_a2，
∴{d_n}是以d₁=1+2log_a2為首項，以2log_a2為公差的等差數(shù)列，…（8分）
∴=
==λ?（λ-4）nlog_a2+（λ-2）（1+log_a2）=0…（10分）
∵恒為一個與n無關的常數(shù)λ，
∴，
解之得：λ=4，a=…（12分）
分析：（Ⅰ）由a₁+a₂+…+a_n-1-a_n=-1可?a₁+a₂+…+a_n-a_n+1=-1，二式作差可得即=2（n≥2），再求得=2即可判斷數(shù)列{a_n}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，從而可求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（Ⅱ）利用等差數(shù)列的概念可判斷{d_n}是以d₁=1+2log_a2為首項，以2log_a2為公差的等差數(shù)列，由==λ，結合恒為一個與n無關的常數(shù)λ可得到關于λ的方程組，解之即可．
點評：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，突出考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與求和公式的應用，考查轉化思想與方程思想，屬于難題．