如圖,在四棱錐P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,且底面ABCD為正方形,AD=PD=2,E,F(xiàn),G分別為PC,PD,CB的中點(diǎn).
(1)求證:AP∥平面EFG;
(2)求二面角G-EF-D的大;
(3)求三棱錐C-PAB的體積.
解:(1)證法1,連接交于點(diǎn),連接,如圖所示: 分別為的中點(diǎn),.同理 .四邊形是平行四邊形. 平面又在中,分別為 的中點(diǎn),.平面平面平面,即平面(4分) 證法2:如圖,以為原點(diǎn),以為方向向量建立空間直角坐標(biāo)系 則 . . 設(shè)平面的法向量為. 即令, 則.
又平面平面 (2)解法1:取中點(diǎn),連接,則 又平面面,,又 平面平面為在平面上的射影. 為所求二面角的平面角,在中,. 二面角的大小為.(5分) 解法2:底面是正方形,又平面 又,平面.向量是平面的一個(gè)法向量,又由(1)知平面的法向量.
二面角的平面角為. (3)(3分) |
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