Question

17．如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，AD=DC=CB=2，四邊形ACFE是矩形，AE=1，平面ACFE⊥平面ABCD，點G是BF的中點．
（1）求證：CG∥平面ADF；
（2）求三棱錐E-AFB的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AB的中點H，連接CH，GH，由已知可得四邊形AHCD是平行四邊形，得到CH∥DA，進一步得到CH∥平面ADF，由GH是三角形ABF的中位線可得有GH∥平面ADF，由面面平行的判定得平面CGH∥平面ADF，繼而得到CG∥平面ADF；
（Ⅱ）由AB∥CD，結合已知得到四邊形ABCD是等腰梯形，由H是AB的中點，可得四邊形AHCD是菱形，得到BC⊥AC，又平面ACFE⊥平面ABCD，得到BC⊥平面ACEF，可知BC是三棱錐B-AEF的高，然后利用等積法求得三棱錐E-AFB的體積．

解答 （Ⅰ）證明：取AB的中點H，連接CH，GH，

∵AB=2AH=2CD，且DC∥AB，
∴AH∥DC且AH=DC，
∴四邊形AHCD是平行四邊形，
∴CH∥DA，則有CH∥平面ADF，
∵GH是三角形ABF的中位線，
∴GH∥AF，則有GH∥平面ADF，
又CH∩GH=H，
∴平面CGH∥平面ADF，
CG?平面CHG，則CG∥平面ADF；
（Ⅱ）解：∵AB∥CD，AB=2AD=2CD=2CB=4，
∴四邊形ABCD是等腰梯形，
H是AB的中點，
∴四邊形AHCD是菱形，CH=2，
∴BC⊥AC，
又∵平面ACFE⊥平面ABCD，交線為AC，
∴BC⊥平面ACEF，
即BC是三棱錐B-AEF的高，且BC=2，
∵V_E-AFB=V_B-AEF，
在等腰三角形ADC中，求得AC=2$\sqrt{3}$，
∴V_E-AFB=V_B-AEF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查直線與平面平行的判定，考查了棱錐體積的求法，訓練了等積法，是中檔題．