Question

已知拋物線(xiàn)y=ax²（a＞0），直線(xiàn)l₁、l₂都過(guò)點(diǎn)P（1，-2）且都與拋物線(xiàn)相切．
（1）若l₁⊥l₂，求a的值．
（2）直線(xiàn)l₁、l₂與分別與x軸相交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，求△PAB面積S的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意直線(xiàn)l₁，l₂的斜率分別設(shè)為k₁，k₂，過(guò)點(diǎn)P（1，-2）的直線(xiàn)設(shè)為y=k（x-1）-2，由，得ax²-kx+k+2=0，由直線(xiàn)l₁、l₂都過(guò)點(diǎn)P（1，-2）且都與拋物線(xiàn)相切，知，再由l₁⊥l₂，能求出a的值．
（2）l₁的方程是：y=k₁（x-1）-2，令y=0，得．l₂的方程：y=k₂（x-1）-2，令y=0，得.=．由此能求出△PAB面積S的取值范圍．
解答：解：（1）由題意直線(xiàn)l₁，l₂的斜率存在且不為0，
分別設(shè)為k₁，k₂，
過(guò)點(diǎn)P（1，-2）的直線(xiàn)設(shè)為y=k（x-1）-2，
由，得ax²-kx+k+2=0，
∵直線(xiàn)l₁、l₂都過(guò)點(diǎn)P（1，-2）且都與拋物線(xiàn)相切，
∴，
∴k₁+k₂=4a，k₁k₂=-8a．
∵l₁⊥l₂，
∴k₁k₂=-8a=-1，
∴．
（2）l₁的方程是：y=k₁（x-1）-2，令y=0，得．
l₂的方程：y=k₂（x-1）-2，令y=0，得．
∴
=
=
=
=
=．
∴
=，
∵a＞0，
∴S_△ABP＞1．
點(diǎn)評(píng)：通過(guò)幾何量的轉(zhuǎn)化考查用待定系數(shù)法求曲線(xiàn)方程的能力，通過(guò)直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系處理，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．通過(guò)向量與幾何問(wèn)題的綜合，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力，探究研究問(wèn)題的能力，并體現(xiàn)了合理消元，設(shè)而不解的代數(shù)變形的思想．