△ABC中, B是橢圓在x軸上方的頂點, 是雙曲線位于x軸下方的準線, 當AC在直線上運動時.

(1)求△ABC外接圓的圓心P的軌跡E的方程；

(2)過定點作互相垂直的直線, 分別交軌跡E于M、N和R、Q, 求四邊形MRNQ面積的最小值.

 

 

 

 

【答案】

 解：（1）由橢圓方程及雙曲線方程可得點直線方程是

   且在直線上運動。

   可設(shè)

   則的垂直平分線方程為                            ①

   的垂直平分線方程為          ②

P是△ABC的外接圓圓心，點P的坐標滿足方程①和②

由①和②聯(lián)立消去得

故圓心P的軌跡E的方程為--------------------------------------------------------（6分）

(2)由圖可知，直線和的斜率存在且不為零，設(shè)的方程為，

，的方程為

由         得 ------------------------------（8分）

  △=直線與軌跡E交于兩點。

設(shè)，則。

同理可得：四邊形MRNQ的面積

------------（12分）

當且僅當，即時，等號成立。

故四邊形MNRQ的面積的最小值為72。----------------------------------------------------（13分）

 

練習冊系列答案
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（2008•襄陽模擬）在△ABC中，AC=2
3
，點B是橢圓
x2
5
+
y2
4
=1的上頂點，l是雙曲線x2-y2=-2位于x軸下方的準線，當AC在直線l上運動時．
（1）求△ABC外接圓的圓心P的軌跡E的方程；
（2）過定點F（0，
3
2
）作互相垂直的直線l1、l2，分別交軌跡E于點M、N和點R、Q．求四邊形MRNQ的面積的最小值．

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（本小題滿分12分）

在△ABC中，B是橢圓在x軸上方的頂點，是雙曲線位于x軸下方的準線，當AC在直線上運動時。

(1)求△ABC外接圓的圓心P的軌跡E的方程；

(2)過定點作互相垂直的直線，分別交軌跡E于M、N和R、Q，求四邊形MRNQ面積的最小值。

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