拋物線y2=2px的內(nèi)接三角形有兩邊與拋物線x2=2qy相切,證明這個三角形的第三邊也與x2=2qy相切.

【答案】分析:設(shè)p>0,q>0.又設(shè)y2=2px的內(nèi)接三角形頂點為A1(x1,y1),A2(x2,y2),A3(x3,y3),分別代入拋物線方程,依題意,設(shè)A1A2,A2A3與拋物線x2=2qy相切,要證A3A1也與拋物線x2=2qy相切,由x2=2qy在原點O處的切線是y2=2px的對稱軸,可知原點O不能是所設(shè)內(nèi)接三角形的頂點推斷三個頂點都不能是(0,0);故可設(shè)直線A1A2的方程,進而得A1A2方程代入拋物線方程,整理后根據(jù)判別式等于0,求得2p2q+y1y2(y1+y2)=0同理由于A2A3與拋物線x2=2qy相切,A2A3也不能與Y軸平行,即x2≠x3,y2≠-y3,同樣得到2p2q+y2y3(y2+y3)=0把y2=-y1-y3代入2p2q+y1y2(y1+y2)=0整理后可說明A3A1與拋物線x2=2qy的兩個交點重合,進而可判斷只要A1A2,A2A3與拋物線x2=2qy相切,則A3A1也與拋物線x2=2qy相切.
解答:解:不失一般性,設(shè)p>0,q>0.又設(shè)y2=2px的內(nèi)接三角形頂點為
A1(x1,y1),A2(x2,y2),A3(x3,y3
因此y12=2px1,y22=2px2,y32=2px3
其中y1≠y2,y2≠y3,y3≠y1
依題意,設(shè)A1A2,A2A3與拋物線x2=2qy相切,
要證A3A1也與拋物線x2=2qy相切
因為x2=2qy在原點O處的切線是y2=2px的對稱軸,
所以原點O不能是所設(shè)內(nèi)接三角形的頂點
即(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),
都不能是(0,0);又因A1A2與x2=2qy相切,
所以A1A2不能與Y軸平行,即x1≠x2,y1≠-y2,
直線A1A2的方程是,
∵y22-y12=(y2-y1)(y2+y1)=2p(x2-x1).
∴A1A2方程是y=
A1A2與拋物線x2=2qy交點的橫坐標(biāo)滿足

由于A1A2與拋物線x2=2qy相切,上面二次方程的判別式
△==0.
化簡得2p2q+y1y2(y1+y2)=0(1)
同理由于A2A3與拋物線x2=2qy相切,A2A3也不能與Y軸平行,即
x2≠x3,y2≠-y3,同樣得到2p2q+y2y3(y2+y3)=0(2)
由(1)(2)兩方程及y2≠0,y1≠y3,得y1+y2+y3=0.
由上式及y2≠0,得y3≠-y1,也就是A3A1也不能與Y軸平行
今將y2=-y1-y3代入(1)式得:2p2q+y3y1(y3+y1)=0(3)
(3)式說明A3A1與拋物線x2=2qy的兩個交點重合,
即A3A1與拋物線x2=2qy相切
所以只要A1A2,A2A3與拋物線x2=2qy相切,
則A3A1也與拋物線x2=2qy相切.
點評:本題主要考查拋物線的應(yīng)用和直線與拋物線的關(guān)系.考查了學(xué)生綜合分析問題和運算能力.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線y2=2px的焦點F與雙曲線x2-
y2
3
=1
的右焦點重合,拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點為K,點A在拋物線上且|AK|=
2
|AF|
,則△AFK的面積為( 。
A、4B、8C、16D、32

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若拋物線y2=2px的焦點與雙曲線
x
3
2
-y2=1
的右焦點重合,則p的值為( 。
A、2
2
B、4
C、-4
D、2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2010•河西區(qū)一模)若拋物線y2=2px的焦點與雙曲線
x2
9
-
y2
5
=1
的右焦點重合,則p的值為
2
14
2
14

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已知雙曲線5x2-4y2=20的右焦點與拋物線y2=2px的焦點重合,則p=
 

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若拋物線y2=2px的焦點坐標(biāo)為(1,0)則準(zhǔn)線方程為
 

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