已知三棱錐P-ABC各側棱長均為2
3
，三個頂角均為40°，M，N分別為PA，PC上的點，求△BMN周長的最小值．
分析：將三棱錐的側面沿線段PB展開，并畫出正三棱錐P-ABC側面展開圖，從而將問題轉化為求頂角為120°等腰三角形的底邊之長的問題，由此結合余弦定理，則不難得到本題答案．
解答：解：將三棱錐的側面沿線段PB展開，
得到如下圖右邊的三個頂角為40°的等腰三角形拼成的五邊形PBACB1，
∵正三棱錐P-ABC中，∠APB=40°
∴五邊形PBACB1中∠BPB1=40°×3=120°，
再將該五邊形圍成三棱角的側面，得到左圖的截面△AEF，
由此可得，右圖中的線段BB1即為△BMN周長的最小值，
∵△PBB1中，PB=PB1=2
3
，∠BPB1=120°
∴BB1=
PB2+PB12-2PB×PB1cos120°
=6
因此，△BMN周長的最小值為6．
點評：本題給出特殊三棱錐，求截面三角形周長的最小值．著重考查了棱錐的結構特征和余弦定理解三角形的知識，其中將三棱錐的側面展開，將空間問題轉化為平面上兩點間的距離問題，是解答本題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知三棱錐P-ABC的三條側棱PA，PB，PC兩兩相互垂直，且PA=2
3
，PB=3，PC=2外接球的直徑等于
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知三棱錐P-ABC中，PC⊥底面ABC，AB=BC，D、F分別為AC、PC的中點，DE⊥AP于E．
（Ⅰ）求證：AP⊥平面BDE；
（Ⅱ）若AE：EP=1：2，求截面BEF分三棱錐P-ABC所成上、下兩部分的體積比．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知三棱錐P-ABC，∠ACB=90°，CB=4，AB=20，D為AB中點，M為PB的中點，且△PDB是正三角形，PA⊥PC．
（I）求證：DM∥平面PAC；
（II）求證：平面PAC⊥平面ABC；
（Ⅲ）求三棱錐M-BCD的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2009•河西區(qū)二模）如圖，已知三棱錐P-ABC中，PA⊥面ABC，其中正視圖為Rt△PAC，AC=2
6
，PA=4，俯視圖也為直角三角形，另一直角邊長為2
2
．
（Ⅰ）畫出側視圖并求側視圖的面積；
（Ⅱ）證明面PAC⊥面PAB；
（Ⅲ）求直線PC與底面ABC所成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2009•黃浦區(qū)二模）已知三棱錐P-ABC的棱長都是2，點D是棱AP上不同于P的點．
（1）試用反證法證明直線BD與直線CP是異面直線．
（2）求三棱錐P-ABC的體積VP-ABC．

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