Question

已知函數(shù)f（x）=x²+（k-2）x+2k-1
（1）若f（1）=16，函數(shù)g（x）是R上的奇函數(shù)，當x＞0時，g（x）=f（x），
（i）求實數(shù)k與g（0）的值；
（ii）當x＜0時，求g（x）的解析式；
（2）若方程f（x）=0的兩根中，一根屬于區(qū)間（0，1），另一根屬于區(qū)間（1，2），求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）（i）由于f（1）=16，可得1²+k-2+2k-1=16，解得即可．利用函數(shù)g（x）是R上的奇函數(shù)，可得g（-0）=-g（0），解出即可．
（ii）利用奇函數(shù)的性質(zhì)g（-x）=-g（x）即可得出；
（2）由于方程f（x）=0的兩根中，一根屬于區(qū)間（0，1），另一根屬于區(qū)間（1，2），可得

f(0)=2k-1＞0 f(1)=1+k-2+2k-1＜0 f(2)=4+2(k-2)+2k-1＞0

，解得即可．

解答：解：（1）（i）∵f（1）=16，∴1²+k-2+2k-1=16，化為3k=18，解得k=6．
∵函數(shù)g（x）是R上的奇函數(shù)，∴g（-0）=-g（0），解得g（0）=0．
（ii）由k=6可得f（x）=x²+4x+11．
設x＜0，則-x＞0．
∵當x＞0時g（x）=f（x）=x²+4x+11．
∴g（-x）=x²-4x+11．
∴g（x）=-g（-x）=-x²+4x-11．
（2）∵方程f（x）=0的兩根中，一根屬于區(qū)間（0，1），另一根屬于區(qū)間（1，2），
∴

f(0)=2k-1＞0 f(1)=1+k-2+2k-1＜0 f(2)=4+2(k-2)+2k-1＞0

，解得

1

2

＜k＜

2

3

．
∴實數(shù)k的取值范圍是(

1

2

，

2

3

)．

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)的零點等基礎知識與基本方法，屬于中檔題．