已知f（x）=（x-1）2，g（x）=4（x-1），f（an）和g（an）滿足：a1=2，且（an+1-an）g（an）+f（an）=0．
（1）是否存在常數(shù)C，使得數(shù)列{an+C}為等比數(shù)列？若存在，證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由．
（2）設bn=3f（an）-[g（an+1）]2，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn．

解：（1）由題意知：4（an+1-an）（an-1）+（an-1）2=0
∴（an-1）（4an+1-3an-1）=0 …（2分）
∵a1=2，∴an-1≠0，即4an+1=3an+1 …（4分）
假設存在常數(shù)C，使{an+C}為等比數(shù)列，
則：為常數(shù)
∴c=-1，故存在常數(shù)c=-1，使{an-1}為等比數(shù)列…（6分）
（2）∵a1=2，∴，
∴…（8分）
從而…（10分）
∴…（12分）
分析：（1）先根據(jù) 已知條件（an+1-an）g（an）+f（an）=0整理得到（an-1）（4an+1-3an-1）=0；再結(jié)合a1=2，得到4an+1=3an+1；最后通過假設存在常數(shù)C，使{an+C}為等比數(shù)列，得到相鄰兩項的比值為常數(shù)求出常數(shù)c=-1；
（2）先根據(jù)第一問的 結(jié)果求出數(shù)列{an}的通項，再代入求出數(shù)列{bn}的通項公式，最后根據(jù)等比數(shù)列的求和公式 即可得到結(jié)論．
點評：本題主要考查等比數(shù)列的求和公式的應用．再應用等比數(shù)列的求和公式時，一定要先判斷公比是否等于1，避免出錯．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f （x）=sin （x+
π
2
），g （x）=cos （x-
π
2
），則下列命題中正確的是（　　）
A、函數(shù)y=f（x）•g（x）的最小正周期為2π
B、函數(shù)y=f（x）•g（x）是偶函數(shù)
C、函數(shù)y=f（x）+g（x）的最小值為-1
D、函數(shù)y=f（x）+g（x）的一個單調(diào)增區(qū)間是[-
3π
4
，
3π
4
]

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=
1，x＜0
2，x≥0
，g（x）=
3f(x-1)-f(x-2)
2
．
（1）當1≤x＜2時，求g（x）；
（2）當x∈R時，求g（x）的解析式，并畫出其圖象；
（3）求方程xf[g（x）]=2g[f（x）]的解．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f （x）=2sin（x+
θ
2
）cos（x+
θ
2
）+2
3
cos2（x+
θ
2
）-
3
．
（1）化簡f （x）的解析式；
（2）若0≤θ≤π，求θ使函數(shù)f （x）為偶函數(shù)；
（3）在（2）成立的條件下，求滿足f （x）=1，x∈[-π，π]的x的集合．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f（x）=x2-kx3．（k≥0）
（Ⅰ）求g（x）的解析式；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）上的單調(diào)性；
（Ⅲ）若數(shù)學公式，設g（x）是函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上的導函數(shù)，問是否存在實數(shù)a，滿足a＞1并且使g（x）在區(qū)間數(shù)學公式上的值域為數(shù)學公式，若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：2011年高三數(shù)學第一輪基礎知識訓練（20）（解析版） 題型：解答題

已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f（x）=x2-kx3．（k≥0）
（Ⅰ）求g（x）的解析式；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）上的單調(diào)性；
（Ⅲ）若，設g（x）是函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上的導函數(shù)，問是否存在實數(shù)a，滿足a＞1并且使g（x）在區(qū)間上的值域為，若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

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