Question

．如圖(一)，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC，E為AD中點，沿CE折疊，使平面DEC⊥平面ABCE，如圖(二)．

(1)證明：AC⊥BD

(2)求DE與平面ACD所成角的余弦值．

Answer 1

方法1：(1)證明：由題意知DE⊥平面ABCE，則DE⊥AC，

連接BE，由四邊形ABCE是正方形可知AC⊥BE.

又DE∩BE＝E，DE，BE⊂平面DEB，∴AC⊥平面DEB.

又DB⊂平面DEB.∴AC⊥BD.

(2)連接BE交AC于O，連接DO，

由(1)知AC⊥平面DEB，AC⊂平面ADC，

∴平面EDO⊥平面ADC，且交線為DO.

∴DE在平面ADC內的射影為DO.

∴∠EDO就是DE與平面ACD所成的角．

在△DEO中，∠DEO＝90°，

設BC＝a，則EO＝a，DE＝a，DO＝a，

∴cos∠EDO＝＝，

即DE與平面ACD所成角的余弦值為.

方法2：

如圖所示，以E為原點，EC、EA、ED所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系E－xyz，

令AB＝a，則E(0,0,0)，C(a,0,0)，A(0，a,0)，D(0,0，a)，B(a，a,0)，＝(a，－a,0)，＝(0，－a，a)，＝(0,0，a)，＝(a，a，－a)．

(1)證明：∵＝(a，－a,0)·(a，a，－a)＝0，

∴，即AC⊥DB.

(2)設平面ACD的法向量n＝(x，y,1)，

則

∴n＝(1,1,1)，

設DE與平面ACD所成的角為θ，

則sinθ＝，∴cosθ＝＝，

∴DE與平面ACD所成角的余弦值為.