Question

已知?jiǎng)狱c(diǎn)A，B分別在x軸、y軸上，且滿足|AB|=2，點(diǎn)P在線段AB上，且

AP

=t

PB

（t是不為零的常數(shù)）．設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線C．
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；若t=2，點(diǎn)M，N是C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（M，N不在坐標(biāo)軸上），點(diǎn)Q(

3

2

，3)，（2）求△QMN的面積S的最大值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)A（a，0），B（0，b），P（x，y），由

AP

=t

PB

得a=(1+t)x，b=

1+t

t

y，由|AB|=2能得到點(diǎn)P軌跡方程．
（2）當(dāng)t=2時(shí)，點(diǎn)P的軌跡C的方程為

9x2

4

+

9y2

16

=1．設(shè)直線方程為y=kx與C方程聯(lián)立得

9

16

(4+k2)x2-1=0，
易得△＞0，由此能夠?qū)С鯯有最大值2

2

．

解答：解：（1）設(shè)A（a，0），B（0，b），P（x，y），
由

AP

=t

PB

得a=(1+t)x，b=

1+t

t

y，
由|AB|=2得點(diǎn)P軌跡方程為

x2

4 (1+t)2

+

y2

4t2 (1+t)2

=1，
當(dāng)t=2時(shí)，C的方程為

9x2

4

+

9y2

16

=1，
（2）設(shè)直線方程為y=kx與C方程聯(lián)立得

9

16

(4+k2)x2-1=0，
易得△＞0，
|MN|=

8 1+k2

3 4+k2

，
點(diǎn)Q到直線的距離為d=

| 3 2 k-3|

1+k2

，
得S=2

1- 4 4 k +k

，當(dāng)且僅當(dāng)k=-2時(shí)，
S有最大值2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．