Question

（14分）已知（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）。
（1）求函數(shù)上的最小值；
（2）是否存在實(shí)數(shù)處的切線與y軸垂直？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由。

Answer 1

（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上無最小值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為
（2）故不存在，使曲線處的切線與軸垂直

解：（1）
令，得…………1分
①若，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)無最小值
……2分
②若時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增
時(shí)，函數(shù)取得最小值…………4分
③若，則，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減
時(shí)，函數(shù)取得最小值…………5分
綜上可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上無最小值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為…………6分
（2）

……7分
由（1）可知，當(dāng)
此時(shí)在區(qū)間上的最小值為
即…………9分
當(dāng)，
…………12分
曲線y在點(diǎn)處的切線與軸垂直等價(jià)于方程有實(shí)數(shù)解
而，即方程無實(shí)數(shù)解
故不存在，使曲線處的切線與軸垂直…………