Question

圓錐的軸截面為等腰直角三角形SAB，Q為底面圓周上一點．
（Ⅰ）如果BQ的中點為C，OH⊥SC，求證：OH⊥平面SBQ；
（Ⅱ）如果∠AOQ=60°，QB=2

3

，求此圓錐的體積；
（Ⅲ）如果二面角A-SB-Q的大小為arctan

6

3

，求∠AOQ的大小．

Answer 1

證明：（I）連接OC、AQ，
因為O為AB的中點，所以O(shè)C∥AQ．
因為AB為圓的直徑，所以∠AQB=90°，OC⊥BQ．
因為SO⊥平面ABQ，所以SO⊥BQ，所以QB⊥平面SOC，OH⊥BQ．又OH⊥SC，SC∩BQ=C，所以O(shè)H⊥平面SBQ．
（II）∵∠AOQ=60°
∴∠OBQ=∠OQB=30°
∵BQ=2

3

∴AB=4，AQ=2，又SA⊥SB，SA=SB=2

2

∴SO=OA=BO=2
∴V=

1

3

π•OA2•SO=

8π

3

．
（III）作QM⊥AB于點M，∵平面SAB⊥平面ABQ且平面SAB∩平面ABQ=AB
∴QM⊥平面SAB．
再作MP⊥SB于點P，連QP
∴QP⊥SB
∴∠MPQ為二面角A-SB-Q的平面角
∴∠MPQ=arctan

6

3

．
∴MQ：MP=

6

：3．
設(shè)OA=OB=R，∠AOQ=α
∴MQ=Rsinα，OM=Rcosα，MB=R（1+cosα），∠SBA=45°
∴MP=BP
∴MP=

2

2

MB=

2

2

R（1+cosα）
∴Rsinα：

2

2

R（1+cosα）=

6

：3．
∴

1+cosα

sinα

=

3

∴cot

α

2

=

3

解得α=60°，∠AOQ=60°．