Question

【題目】已知函數(shù)（）.

（I）若，求曲線在點處的切線方程；

（II）若在上無極值點，求的值；

（III）當時，討論函數(shù)的零點個數(shù)，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）； （2）時函數(shù)在上無零點；當時，函數(shù)在上有一個零點；當時，函數(shù)在上有兩個零點.

【解析】

（I）由導數(shù)的幾何意義,切線的斜率,先求，，,利用直線方程的點斜式求解. （II）因為,所以若在上無極值點,則，即，，解得.

(III)討論當時,在上的符號, 函數(shù)的單調(diào)性、極值情況,從而分析

函數(shù)的圖像與x軸的交點個數(shù),得出函數(shù)的零點個數(shù).

（I）當時，，

，，，

所以曲線在點處的切線方程為.

（II），，依題意有，即，

，解得.

(III)（1）時，函數(shù)在上恒為增函數(shù)且，函數(shù)在上無零點.

（2）時：

當，，函數(shù)為增函數(shù)；

當，，函數(shù)為減函數(shù)；

當，，函數(shù)為增函數(shù).

由于，此時只需判定的符號：

當時，函數(shù)在上無零點；

當時，函數(shù)在上有一個零點；

當時，函數(shù)在上有兩個零點.

綜上，時函數(shù)在上無零點；

當時，函數(shù)在上有一個零點；

當時，函數(shù)在上有兩個零點.