Question

已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2n-1，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，且滿足T_n=1-b_n．
（1）求{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）當(dāng)

1

an+25

是數(shù)列{b_n}中的項(xiàng)時(shí)，將這樣的a_n按原來的順序組成新數(shù)列{c_n}，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（1）利用數(shù)列遞推式，在寫一式，兩式相減，可得{b_n}為首項(xiàng)和公比均為

1

2

的等比數(shù)列，從而可求{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列中的第m項(xiàng)滿足題意，則

1

am+25

=(

1

2

)n，從而可得數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)，利用求和公式，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，∵b₁=T₁=1-b₁，∴b₁=

1

2

當(dāng)n≥2時(shí)，∵T_n=1-b_n，∴T_n-1=1-b_n-1，
兩式相減得：b_n=b_n-1-b_n，即：b_n=

1

2

b_n-1，
故{b_n}為首項(xiàng)和公比均為

1

2

的等比數(shù)列，
∴b_n=（

1

2

）ⁿ；
（2）由題意，設(shè)數(shù)列中的第m項(xiàng)滿足題意，則

1

am+25

=(

1

2

)n，∴2m-1+25=2ⁿ
∴m=2^n-1-12（n≥5）
∴cn=a2n+3-12=2n+4-25
∴數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n=

32(1-2n)

1-2

-25n=2ⁿ⁺⁵-25n-32．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的判定，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．