橢圓上的任意一點(diǎn)M（除短軸端點(diǎn)除外）與短軸兩個(gè)端點(diǎn)B1，B2的連線交x軸于點(diǎn)N和K，則|ON|+|OK|的最小值是    ．
【答案】分析：求出橢圓上下頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)M（xo，yo），N（xm，0），K（xn，0），利用三點(diǎn)共線求出K，N的橫坐標(biāo)，利用M在橢圓上，推出|ON|•|OK|=a2，最后利用基本不等式求出|ON|+|OK|的最小值即可．
解答：解：由橢圓方程知B1（0，b），B2（0，-b），
另設(shè)M（xo，yo），K（xk，0），N（xn，0）（2分）
由M，N，B1三點(diǎn)共線，知 =（4分）
所以xn=（6分）
同理得xk=（9分）
|OK|•|ON|=||…①，
又M在橢圓上所以 即b2-y=代入①得              10分
|OK|•|ON|=||=a2（12分）
利用基本不等式，得|ON|+|OK|≥2=2a，當(dāng)且僅當(dāng)|OK|•|ON|取號(hào)，
故|OK|•|ON|的最小值為2a．
故答案為：2a．
點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，思路明確重點(diǎn)考查學(xué)生的計(jì)算能力，也可以由向量共線，或由直線方程截距式等求得點(diǎn)M坐標(biāo)．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，左頂點(diǎn)為A，若|F1F2|=2，橢圓的離心率為e=
1
2

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，
（Ⅱ）若P是橢圓上的任意一點(diǎn)，求
PF1
•
PA
的取值范圍
（III）直線l：y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)M，N（均不是長(zhǎng)軸的頂點(diǎn)），AH⊥MN垂足為H且
AH
2=
MH
•
HN
，求證：直線l恒過(guò)定點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2009•河?xùn)|區(qū)二模）已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)．
（1）設(shè)F是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，M橢圓上的任意一點(diǎn)，|MF|的最大值與最小值的算術(shù)平均等于4，橢圓的頂點(diǎn)A與N（-2，0）關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱，求此橢圓方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為兩焦點(diǎn)，記∠F1PF2=θ，求證|PF1|•|PF2|=
2b2
1+cosθ
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2011•重慶一模）給出以下4個(gè)命題：
①曲線x2-（y-1）2=1按
a
=（1，-2）平移可得曲線（x+1）2-（y-3）2=1；
②若|x-1|+|y-1|≤1，則使x-y取得最小值的最優(yōu)解有無(wú)數(shù)多個(gè)；
③設(shè)A、B為兩個(gè)定點(diǎn)，n為常數(shù)，|
PA
|-|
PB
|=n，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線；
④若橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，P是該橢圓上的任意一點(diǎn)，延長(zhǎng)F1P到點(diǎn)M，使|F2P|=|PM|，則點(diǎn)M的軌跡是圓．
其中所有真命題的序號(hào)為
②④
②④
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：江西師大附中2012屆高三5月模擬考試數(shù)學(xué)理科試題 題型：044

已知橢圓C：的離心率為，過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F且斜率為1的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，N為弦AB的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

(1)求直線PN的斜率kON；

(2)對(duì)于橢圓上的任意一點(diǎn)M，試證：總存在，使得等式＝cos·＋sin·成立．

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同步練習(xí)冊(cè)答案